Номер 7.24, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.24. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CP$.

Найдите площадь треугольника $BPK$, если площадь треугольника $ABC$ равна $16\text{ см}^2$ и угол $ABC$ равен $30^\circ$.

Рассмотрим треугольники $BPK$ и $ABC$. Площадь треугольника можно найти по формуле через две стороны и синус угла между ними. Для треугольника $ABC$ с углом $\angle ABC$ (обозначим его $\angle B$) формула площади выглядит так:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$

Аналогично, для треугольника $BPK$:

$S_{BPK} = \frac{1}{2} \cdot BP \cdot BK \cdot \sin(\angle B)$

Чтобы найти связь между площадями, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{S_{BPK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BP \cdot BK \cdot \sin(\angle B)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)} = \frac{BP \cdot BK}{AB \cdot BC} = \frac{BP}{BC} \cdot \frac{BK}{AB}$

Теперь выразим отрезки $BP$ и $BK$ через стороны треугольника $ABC$.

По условию, $AK$ и $CP$ — высоты. Это значит, что $\triangle AKB$ и $\triangle CPB$ — прямоугольные треугольники ($\angle AKB = 90^\circ$ и $\angle CPB = 90^\circ$).

Из прямоугольного треугольника $CPB$ по определению косинуса угла $B$ имеем:

$\cos(\angle B) = \frac{BP}{BC}$, откуда $BP = BC \cdot \cos(\angle B)$.

Из прямоугольного треугольника $AKB$ по определению косинуса угла $B$ имеем:

$\cos(\angle B) = \frac{BK}{AB}$, откуда $BK = AB \cdot \cos(\angle B)$.

Подставим полученные выражения для $BP$ и $BK$ в формулу отношения площадей:

$\frac{S_{BPK}}{S_{ABC}} = \frac{BC \cdot \cos(\angle B)}{BC} \cdot \frac{AB \cdot \cos(\angle B)}{AB} = \cos(\angle B) \cdot \cos(\angle B) = \cos^2(\angle B)$

Отсюда можем выразить искомую площадь $S_{BPK}$:

$S_{BPK} = S_{ABC} \cdot \cos^2(\angle B)$

По условию $S_{ABC} = 16 \text{ см}^2$ и $\angle ABC = 30^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$S_{BPK} = 16 \cdot \cos^2(30^\circ)$

Значение косинуса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{BPK} = 16 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 16 \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: 12 см².