Номер 7.20, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.20. Каждая из двух четвёрок точек $A_1, B_1, C_1, D_1$ и $A_2, B_2, C_2, D_2$ является параллельной проекцией точек $A, B, C, D$ на плоскость $\alpha$ в направлении непараллельных прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно. Известно, что четырёхугольники $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$ — трапеции. Верно ли, что точки $A, B, C$ и $D$ являются вершинами трапеции?

Нет, это утверждение не является верным. Точки $A, B, C, D$ не обязательно являются вершинами трапеции. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.

Свойство параллельного проектирования заключается в том, что проекции двух прямых параллельны тогда и только тогда, когда эти прямые лежат в параллельных плоскостях, которые, в свою очередь, параллельны направлению проектирования. В векторной форме это означает, что проекции отрезков $AB$ и $DC$ параллельны (то есть $A_1B_1 \parallel D_1C_1$), если векторы $\vec{AB}$, $\vec{DC}$ и направляющий вектор прямой $l_1$ (обозначим его $\vec{v_1}$) являются копланарными.

Построим контрпример. Пусть в пространстве заданы четыре точки с координатами:
$A(0; 0; 0)$
$B(1; 0; 0)$
$C(1; 1; 1)$
$D(0; 1; 0)$

Проверим, является ли четырехугольник $ABCD$ трапецией. Для этого найдем векторы, соответствующие его сторонам:
$\vec{AB} = (1-0; 0-0; 0-0) = (1; 0; 0)$
$\vec{DC} = (1-0; 1-1; 1-0) = (1; 0; 1)$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ не коллинеарны, так как их координаты не пропорциональны. Следовательно, стороны $AB$ и $DC$ не параллельны.

$\vec{AD} = (0-0; 1-0; 0-0) = (0; 1; 0)$
$\vec{BC} = (1-1; 1-0; 1-0) = (0; 1; 1)$
Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ также не коллинеарны. Следовательно, стороны $AD$ и $BC$ не параллельны.

Поскольку у четырехугольника $ABCD$ нет параллельных сторон, он не является трапецией. Это пространственный (скрещивающийся) четырехугольник.

Теперь подберем такие направления проектирования $l_1$ и $l_2$, чтобы проекции этого четырехугольника были трапециями.

1. Рассмотрим первую проекцию. Чтобы четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ был трапецией с основаниями $A_1B_1$ и $D_1C_1$, направляющий вектор $\vec{v_1}$ прямой $l_1$ должен быть копланарен векторам $\vec{AB}=(1; 0; 0)$ и $\vec{DC}=(1; 0; 1)$. Эти два вектора определяют плоскость, задаваемую уравнением $y=0$ (плоскость $Oxz$). Выберем в качестве направления проектирования $l_1$ любой вектор, параллельный этой плоскости, например, вектор $\vec{v_1} = (0; 0; 1)$ (т.е. проектирование параллельно оси $Oz$). При таком проектировании проекции прямых $AB$ и $DC$ на плоскость $\alpha$ (например, на $Oxy$) будут параллельны, и, следовательно, четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ будет трапецией.

2. Рассмотрим вторую проекцию. Чтобы четырехугольник $A_2B_2C_2D_2$ был трапецией с основаниями $A_2D_2$ и $B_2C_2$, направляющий вектор $\vec{v_2}$ прямой $l_2$ должен быть копланарен векторам $\vec{AD}=(0; 1; 0)$ и $\vec{BC}=(0; 1; 1)$. Эти два вектора определяют плоскость, задаваемую уравнением $x=0$ (плоскость $Oyz$). Выберем в качестве направления проектирования $l_2$ любой вектор, параллельный этой плоскости, например, вектор $\vec{v_2} = (0; 1; 0)$ (т.е. проектирование параллельно оси $Oy$). При таком проектировании проекции прямых $AD$ и $BC$ на плоскость $\alpha$ будут параллельны, и, следовательно, четырехугольник $A_2B_2C_2D_2$ будет трапецией.

Выбранные направления проектирования $l_1$ (с вектором $\vec{v_1}=(0; 0; 1)$) и $l_2$ (с вектором $\vec{v_2}=(0; 1; 0)$) непараллельны, так как их направляющие векторы не коллинеарны.Таким образом, мы построили пример, в котором исходные точки $A, B, C, D$ не являются вершинами трапеции, но обе их параллельные проекции на плоскость $\alpha$ в направлениях непараллельных прямых являются трапециями.

Ответ: Нет, не верно.