Номер 7.16, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.16. Докажите, что если фигура принадлежит плоскости, параллельной плоскости проектирования, то её параллельной проекцией является фигура, равная данной.

Пусть $F$ — данная фигура, которая принадлежит плоскости $\alpha$. Пусть $\beta$ — плоскость проектирования, и по условию задачи плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$). Пусть $F'$ — параллельная проекция фигуры $F$ на плоскость $\beta$. Направление проектирования задано прямой $l$, которая не параллельна плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

Чтобы доказать, что фигура $F'$ равна фигуре $F$, нужно показать, что преобразование проекции является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками. Для этого достаточно доказать, что для любых двух точек $A$ и $B$ из фигуры $F$ расстояние между ними равно расстоянию между их проекциями $A'$ и $B'$.

Возьмём две произвольные точки $A \in F$ и $B \in F$. Их проекциями на плоскость $\beta$ являются точки $A' \in F'$ и $B' \in F'$.

По определению параллельного проектирования, прямая $AA'$ и прямая $BB'$ параллельны направлению проектирования $l$, а следовательно, параллельны друг другу: $AA' \parallel BB'$.

Поскольку прямые $AA'$ и $BB'$ параллельны, через них проходит единственная плоскость (назовем ее $\gamma$). Точки $A, B, A', B'$ лежат в этой плоскости, образуя плоский четырехугольник $ABB'A'$.

Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ (так как $A, B \in \alpha$), а прямая $A'B'$ лежит в плоскости $\beta$ (так как $A', B' \in \beta$). Плоскость $\gamma$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $AB$ и $A'B'$ соответственно. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения параллельны, то есть $AB \parallel A'B'$.

В четырехугольнике $ABB'A'$ мы имеем две пары параллельных противоположных сторон: $AA' \parallel BB'$ и $AB \parallel A'B'$. Следовательно, по определению, четырехугольник $ABB'A'$ является параллелограммом.

В параллелограмме длины противоположных сторон равны. Значит, $|AB| = |A'B'|$.

Так как точки $A$ и $B$ были выбраны произвольно, мы доказали, что расстояние между любыми двумя точками фигуры $F$ равно расстоянию между их проекциями. Это означает, что отображение фигуры $F$ на фигуру $F'$ является изометрией. Следовательно, фигура $F'$ равна фигуре $F$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.