Страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.12. На рисунке 7.26 изображён тетраэдр $DABC$, на ребре $AB$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного тетраэдра при симметрии относительно:

1) вершины $A$;

2) точки $M$.

Рис. 7.26

1) вершины A;
Центральная симметрия относительно точки (центра) $A$ — это преобразование пространства, при котором любая точка $X$ переходит в такую точку $X'$, что точка $A$ является серединой отрезка $XX'$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно вершины $A$, необходимо найти образы всех его вершин ($A, B, C, D$).

• Построение образа вершины A: Так как точка $A$ является центром симметрии, она отображается сама на себя. Обозначим ее образ как $A'$. Таким образом, $A' = A$.
• Построение образа вершины B: Образ вершины $B$, точка $B'$, должен быть таким, чтобы $A$ была серединой отрезка $BB'$. Для этого нужно провести прямую через точки $B$ и $A$ и отложить на ней от точки $A$ в сторону, противоположную точке $B$, отрезок $AB'$, равный по длине отрезку $AB$. Векторно это условие записывается как $\vec{AB'} = -\vec{AB}$.
• Построение образа вершины C: Аналогично, точка $C'$ (образ вершины $C$) находится на прямой $AC$ так, что $A$ является серединой отрезка $CC'$, то есть $AC' = AC$. Векторное равенство: $\vec{AC'} = -\vec{AC}$.
• Построение образа вершины D: Образ вершины $D$, точка $D'$, находится на прямой $AD$ так, что $A$ является серединой отрезка $DD'$, то есть $AD' = AD$. Векторное равенство: $\vec{AD'} = -\vec{AD}$.

Соединив полученные точки $A', B', C', D'$, мы получим искомый тетраэдр $A'B'C'D'$. Поскольку $A' = A$, то образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $AB'C'D'$.
Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно вершины $A$ является тетраэдр $AB'C'D'$, где $A$ — общая вершина, а вершины $B', C', D'$ симметричны соответственно вершинам $B, C, D$ относительно точки $A$.

2) точки M.
Для построения образа тетраэдра при симметрии относительно точки $M$ необходимо найти образы всех его вершин ($A, B, C, D$) относительно центра симметрии $M$.

• Построение образа вершины A: Образ вершины $A$, точка $A'$, находится на прямой $AM$ так, что точка $M$ является серединой отрезка $AA'$. Для этого на продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MA'$, равный $MA$. Векторно: $\vec{MA'} = -\vec{MA}$.
• Построение образа вершины B: Образ вершины $B$, точка $B'$, находится на прямой $BM$ так, что точка $M$ является серединой отрезка $BB'$. На продолжении отрезка $BM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MB'$, равный $MB$. Векторно: $\vec{MB'} = -\vec{MB}$. Поскольку точка $M$ лежит на ребре $AB$, точки $A'$ и $B'$ также будут лежать на прямой $AB$.
• Построение образа вершины C: Образ вершины $C$, точка $C'$, находится на прямой $CM$ так, что точка $M$ является серединой отрезка $CC'$. На продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MC'$, равный $MC$. Векторно: $\vec{MC'} = -\vec{MC}$.
• Построение образа вершины D: Образ вершины $D$, точка $D'$, находится на прямой $DM$ так, что точка $M$ является серединой отрезка $DD'$. На продолжении отрезка $DM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MD'$, равный $MD$. Векторно: $\vec{MD'} = -\vec{MD}$.

Соединив полученные точки $A', B', C', D'$, мы получим искомый тетраэдр $D'A'B'C'$, который является образом тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно точки $M$.
Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно точки $M$ является тетраэдр $D'A'B'C'$, вершины которого $A', B', C', D'$ симметричны соответственно вершинам $A, B, C, D$ относительно точки $M$.

7.13. На рисунке 7.27 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте образ данного куба при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $A$ является точка $D$;

2) образом точки $B$ является точка $C_1$.

Рис. 7.27

1)

При параллельном переносе, в результате которого образом точки $A$ является точка $D$, вектор переноса равен $\vec{v} = \vec{AD}$. Чтобы построить образ всего куба, необходимо перенести каждую его вершину на этот вектор.

Найдем образы некоторых вершин исходного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

• Образом точки $A$ является точка $D$ (по условию).
• Образом точки $B$ является точка $B'$, такая что $\vec{BB'} = \vec{AD}$. Так как $ABCD$ — грань куба (квадрат), то $\vec{AD} = \vec{BC}$. Следовательно, $\vec{BB'} = \vec{BC}$, откуда следует, что точка $B'$ совпадает с точкой $C$.
• Образом точки $A_1$ является точка $A_1'$, такая что $\vec{A_1A_1'} = \vec{AD}$. Так как $ADD_1A_1$ — грань куба, то $\vec{AD} = \vec{A_1D_1}$. Следовательно, $\vec{A_1A_1'} = \vec{A_1D_1}$, откуда следует, что точка $A_1'$ совпадает с точкой $D_1$.
• Образом точки $B_1$ является точка $B_1'$, такая что $\vec{B_1B_1'} = \vec{AD}$. В кубе векторы ребер, не лежащих в одной плоскости, но параллельных друг другу, равны. Так, $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$. Следовательно, $\vec{B_1B_1'} = \vec{B_1C_1}$, откуда следует, что точка $B_1'$ совпадает с точкой $C_1$.

Таким образом, образом грани $ABB_1A_1$ является грань $DCC_1D_1$. Так как параллельный перенос является движением, он переводит куб в равный ему куб. Образ исходного куба — это куб, который имеет с исходным общую грань $DCC_1D_1$ и расположен по другую сторону от этой грани.

Ответ: Образом данного куба является куб, примыкающий к исходному по грани $DCC_1D_1$.

2)

При параллельном переносе, в результате которого образом точки $B$ является точка $C_1$, вектор переноса равен $\vec{v} = \vec{BC_1}$. Этот вектор является пространственной диагональю куба. Для построения образа куба найдем образы его вершин.

Вектор переноса можно разложить по ребрам: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.

Найдем образы некоторых вершин:

• Образом точки $B$ является точка $C_1$ (по условию).
• Найдем образ точки $A$ — точку $A'$. $A' = A + \vec{BC_1} = A + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = (A + \vec{BC}) + \vec{CC_1}$. Так как $ABCD$ — грань куба, то $A + \vec{BC} = A + \vec{AD} = D$. Тогда $A' = D + \vec{CC_1}$. Так как $CDD_1C_1$ — грань куба, то $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Следовательно, $A' = D + \vec{DD_1} = D_1$. Таким образом, образом точки $A$ является точка $D_1$.

Из этого следует, что образом ребра $AB$ является ребро $D_1C_1$.

Образом куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ будет равный ему куб, назовем его $K'$. Ребро $D_1C_1$ исходного куба является ребром и для куба $K'$ (как образ ребра $AB$).

Найдем образы остальных вершин, чтобы определить положение куба $K'$.

• Образ точки $D$, точка $D' = D + \vec{BC_1}$.
• Образ точки $C$, точка $C' = C + \vec{BC_1}$.

Образом грани $ABCD$ является грань $A'B'C'D'$, то есть $D_1C_1C'D'$. Эта грань является одной из граней искомого куба $K'$. Чтобы ее построить, нужно от вершин $D_1$ и $C_1$ отложить векторы, равные $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ соответственно. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, то $\vec{D_1D'} = \vec{AD}$ и $\vec{C_1C'} = \vec{BC}$.

Искомый куб $K'$ строится на грани $D_1C_1C'D'$ и не имеет с исходным кубом других общих точек, кроме вершин $D_1$, $C_1$ и ребра $D_1C_1$.

Ответ: Образом данного куба является равный ему куб, который имеет с исходным кубом только одно общее ребро — ребро $D_1C_1$.

7.14. На рисунке 7.28 изображён тетраэдр $DABC$, точка $M$ — середина ребра $BC$. Постройте образ данного тетраэдра при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $D$ является точка $B$;

2) образом точки $A$ является точка $M$.

Рис. 7.28

1) По условию, образом точки $D$ при параллельном переносе является точка $B$. Это означает, что параллельный перенос задается вектором $\vec{a} = \vec{DB}$.
При этом переносе каждая точка тетраэдра смещается на вектор $\vec{DB}$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, нужно построить образы его вершин:
- Образом вершины $D$ является точка $B$.
- Образом вершины $A$ является точка $A'$, такая, что $\vec{AA'} = \vec{DB}$.
- Образом вершины $B$ является точка $B'$, такая, что $\vec{BB'} = \vec{DB}$.
- Образом вершины $C$ является точка $C'$, такая, что $\vec{CC'} = \vec{DB}$.
Соединив новые вершины $B, A', B', C'$, мы получим тетраэдр $BA'B'C'$, который является образом тетраэдра $DABC$.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $BA'B'C'$, где точки $A'$, $B'$, $C'$ строятся так, что $\vec{AA'} = \vec{DB}$, $\vec{BB'} = \vec{DB}$ и $\vec{CC'} = \vec{DB}$.

2) По условию, образом точки $A$ при параллельном переносе является точка $M$, которая является серединой ребра $BC$. Это означает, что параллельный перенос задается вектором $\vec{b} = \vec{AM}$.
Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, нужно построить образы его вершин:
- Образом вершины $A$ является точка $M$.
- Образом вершины $D$ является точка $D''$, такая, что $\vec{DD''} = \vec{AM}$.
- Образом вершины $B$ является точка $B''$, такая, что $\vec{BB''} = \vec{AM}$.
- Образом вершины $C$ является точка $C''$, такая, что $\vec{CC''} = \vec{AM}$.
Соединив новые вершины $D'', M, B'', C''$, мы получим тетраэдр $D''MB''C''$, который является образом тетраэдра $DABC$.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $D''MB''C''$, где точки $D''$, $B''$, $C''$ строятся так, что $\vec{DD''} = \vec{AM}$, $\vec{BB''} = \vec{AM}$ и $\vec{CC''} = \vec{AM}$.

7.15. Докажите, что если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельной проекцией является отрезок, равный данному.

Дано:
Отрезок $AB$.
Плоскость проектирования $\alpha$.
Направление проектирования задано прямой $l$ ($l$ не параллельна $\alpha$).
Отрезок $AB$ параллелен плоскости $\alpha$ (т.е. прямая, содержащая отрезок $AB$, параллельна плоскости $\alpha$).

Доказать:
Параллельной проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $A_1B_1$, равный отрезку $AB$ ($|A_1B_1| = |AB|$).

Доказательство:

1. Пусть точки $A_1$ и $B_1$ являются параллельными проекциями концов отрезка $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. По определению параллельного проектирования, прямые, проходящие через исходные точки и их проекции, параллельны направлению проектирования. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1$.

2. Две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ определяют единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Таким образом, точки $A, B, B_1, A_1$ лежат в одной плоскости $\beta$. Эти точки образуют четырехугольник $ABB_1A_1$.

3. По условию задачи, отрезок $AB$ параллелен плоскости проектирования $\alpha$. Это значит, что прямая $AB$, содержащаяся в плоскости $\beta$, параллельна плоскости $\alpha$.

4. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой, проходящей через точки $A_1$ и $B_1$. По теореме о параллельности прямой и плоскости, если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (прямая $A_1B_1$) параллельна данной прямой ($AB$). Отсюда следует, что $AB \parallel A_1B_1$.

5. Теперь рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. Мы доказали, что его противоположные стороны попарно параллельны:

• $AA_1 \parallel BB_1$ (по определению параллельного проектирования).
• $AB \parallel A_1B_1$ (как было доказано в предыдущем шаге).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

6. Основным свойством параллелограмма является равенство длин его противоположных сторон. Следовательно, длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A_1B_1$: $|AB| = |A_1B_1|$.

7. При параллельном проектировании любая точка отрезка $AB$ отобразится в точку отрезка $A_1B_1$. Таким образом, проекцией отрезка $AB$ является отрезок $A_1B_1$.

Следовательно, мы доказали, что параллельной проекцией отрезка, параллельного плоскости проектирования, является отрезок, равный данному. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельная проекция — это отрезок, равный по длине исходному отрезку.

7.16. Докажите, что если фигура принадлежит плоскости, параллельной плоскости проектирования, то её параллельной проекцией является фигура, равная данной.

Пусть $F$ — данная фигура, которая принадлежит плоскости $\alpha$. Пусть $\beta$ — плоскость проектирования, и по условию задачи плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$). Пусть $F'$ — параллельная проекция фигуры $F$ на плоскость $\beta$. Направление проектирования задано прямой $l$, которая не параллельна плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

Чтобы доказать, что фигура $F'$ равна фигуре $F$, нужно показать, что преобразование проекции является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками. Для этого достаточно доказать, что для любых двух точек $A$ и $B$ из фигуры $F$ расстояние между ними равно расстоянию между их проекциями $A'$ и $B'$.

Возьмём две произвольные точки $A \in F$ и $B \in F$. Их проекциями на плоскость $\beta$ являются точки $A' \in F'$ и $B' \in F'$.

По определению параллельного проектирования, прямая $AA'$ и прямая $BB'$ параллельны направлению проектирования $l$, а следовательно, параллельны друг другу: $AA' \parallel BB'$.

Поскольку прямые $AA'$ и $BB'$ параллельны, через них проходит единственная плоскость (назовем ее $\gamma$). Точки $A, B, A', B'$ лежат в этой плоскости, образуя плоский четырехугольник $ABB'A'$.

Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ (так как $A, B \in \alpha$), а прямая $A'B'$ лежит в плоскости $\beta$ (так как $A', B' \in \beta$). Плоскость $\gamma$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $AB$ и $A'B'$ соответственно. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения параллельны, то есть $AB \parallel A'B'$.

В четырехугольнике $ABB'A'$ мы имеем две пары параллельных противоположных сторон: $AA' \parallel BB'$ и $AB \parallel A'B'$. Следовательно, по определению, четырехугольник $ABB'A'$ является параллелограммом.

В параллелограмме длины противоположных сторон равны. Значит, $|AB| = |A'B'|$.

Так как точки $A$ и $B$ были выбраны произвольно, мы доказали, что расстояние между любыми двумя точками фигуры $F$ равно расстоянию между их проекциями. Это означает, что отображение фигуры $F$ на фигуру $F'$ является изометрией. Следовательно, фигура $F'$ равна фигуре $F$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

7.17. Плоскость $\alpha$ параллельна каждой из скрещивающихся прямых $a$ и $b$ и пересекает плоскость $\beta$. Какая фигура является параллельной проекцией прямых $a$ и $b$ на плоскость $\beta$ в направлении прямой, параллельной плоскости $\alpha$?

Пусть $l$ — прямая, задающая направление параллельного проецирования на плоскость $\beta$. По условию задачи, эта прямая параллельна плоскости $\alpha$, то есть $l \parallel \alpha$. Также нам дано, что скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\alpha$: $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$.

Параллельной проекцией прямой $a$ на плоскость $\beta$ (обозначим ее $a'$) является линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $\gamma_a$, которая проходит через прямую $a$ и параллельна прямой $l$. Поскольку $a \parallel \alpha$ и $l \parallel \alpha$, то плоскость $\gamma_a$, которая определяется этими двумя направлениями, будет параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, $\gamma_a \parallel \alpha$.

Аналогично, проекцией прямой $b$ на плоскость $\beta$ (обозначим ее $b'$) является линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $\gamma_b$, которая проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $l$. Так как $b \parallel \alpha$ и $l \parallel \alpha$, то и плоскость $\gamma_b$ будет параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, $\gamma_b \parallel \alpha$.

Из того, что $\gamma_a \parallel \alpha$ и $\gamma_b \parallel \alpha$, следует, что плоскости $\gamma_a$ и $\gamma_b$ параллельны друг другу: $\gamma_a \parallel \gamma_b$. Поскольку исходные прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися, они не лежат в одной плоскости, а значит, содержащие их плоскости $\gamma_a$ и $\gamma_b$ не совпадают.

Мы получили, что две различные параллельные плоскости ($\gamma_a$ и $\gamma_b$) пересекаются третьей плоскостью ($\beta$). По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны. Линиями пересечения являются как раз проекции $a' = \gamma_a \cap \beta$ и $b' = \gamma_b \cap \beta$. Следовательно, $a' \parallel b'$.

Таким образом, в общем случае, искомая фигура — это две параллельные прямые.

Рассмотрим вырожденный случай. Проекцией прямой является точка только тогда, когда сама прямая параллельна направлению проецирования. Если, например, $a \parallel l$, то проекцией прямой $a$ будет точка. Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не могут быть параллельны, а значит, они не могут быть одновременно параллельны прямой $l$. Поэтому, если проекция одной прямой — точка, то проекция другой — обязательно прямая. В этом случае фигура будет состоять из точки и прямой. Причем точка не будет лежать на прямой, так как они получены пересечением плоскости $\beta$ с двумя разными параллельными плоскостями $\gamma_a$ и $\gamma_b$.

Ответ: Две параллельные прямые. В вырожденном случае, если одна из скрещивающихся прямых параллельна направлению проецирования, фигурой является точка и не содержащая ее прямая.