Страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 7.23). При некотором параллельном переносе образом отрезка $BB_1$ является отрезок $CC_1$. Образом какой фигуры при данном параллельном переносе является:

1) точка $D$;

2) отрезок $D_1C$;

3) грань $CC_1D_1D$?

Рис. 7.23

По условию задачи, при параллельном переносе образом отрезка $BB_1$ является отрезок $CC_1$. Это означает, что точка $B$ переходит в точку $C$, а точка $B_1$ — в точку $C_1$.

Параллельный перенос определяется вектором. В данном случае вектор переноса $\vec{v}$ равен вектору $\vec{BC}$, так как образом точки $B$ является точка $C$. То есть, для любой точки $M$ ее образ $M'$ находится из условия $\vec{MM'} = \vec{v} = \vec{BC}$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные ребра параллельны и равны, поэтому справедливы следующие векторные равенства: $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1} = \vec{A_1D_1}$. Также, так как основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны и конгруэнтны, то $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$. Таким образом, вектор переноса можно записать как $\vec{v} = \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{B_1C_1} = \vec{A_1D_1}$.

Вопрос «Образом какой фигуры является [фигура X]?» означает, что необходимо найти прообраз фигуры X, то есть такую фигуру $F$, которая при данном переносе отображается в фигуру $X$.

Требуется найти точку $P$, образом которой при данном переносе является точка $D$. По определению параллельного переноса, для искомой точки $P$ и ее образа $D$ должно выполняться равенство $\vec{PD} = \vec{v}$.

Подставив значение вектора переноса $\vec{v} = \vec{BC}$, получаем: $\vec{PD} = \vec{BC}$.

Как было установлено ранее, для куба справедливо равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$. Заменим $\vec{BC}$ на $\vec{AD}$ в нашем уравнении: $\vec{PD} = \vec{AD}$.

Из равенства векторов с общим концом ($D$) следует, что их начала также совпадают, то есть $P = A$.

Ответ: точка $A$.

Требуется найти отрезок $PQ$, образом которого является отрезок $D_1C$. Это означает, что образами концов отрезка $PQ$ являются концы отрезка $D_1C$. Найдем прообразы точек $D_1$ и $C$.

Пусть $P$ — прообраз точки $D_1$. Тогда $\vec{PD_1} = \vec{v} = \vec{BC}$. В кубе вектор $\vec{A_1D_1}$ равен вектору $\vec{BC}$, следовательно, $\vec{PD_1} = \vec{A_1D_1}$. Из этого равенства следует, что $P = A_1$.

Пусть $Q$ — прообраз точки $C$. Тогда $\vec{QC} = \vec{v} = \vec{BC}$. Из этого равенства следует, что $Q = B$.

Таким образом, прообразом отрезка $D_1C$ является отрезок, соединяющий точки $A_1$ и $B$.

Ответ: отрезок $A_1B$.

Требуется найти фигуру, образом которой является грань $CC_1D_1D$. Так как параллельный перенос является движением, он сохраняет форму и размеры фигур. Следовательно, прообразом грани будет конгруэнтная ей грань. Чтобы найти эту грань, достаточно найти прообразы ее вершин: $C, C_1, D_1, D$.

Найдем прообразы вершин:
- Прообраз точки $C$ — это точка $P_1$ такая, что $\vec{P_1C} = \vec{BC}$. Отсюда $P_1 = B$.
- Прообраз точки $C_1$ — это точка $P_2$ такая, что $\vec{P_2C_1} = \vec{BC}$. Так как $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$, получаем $\vec{P_2C_1} = \vec{B_1C_1}$, откуда $P_2 = B_1$.
- Прообраз точки $D_1$ — это точка $P_3$ такая, что $\vec{P_3D_1} = \vec{BC}$. Так как $\vec{A_1D_1} = \vec{BC}$, получаем $\vec{P_3D_1} = \vec{A_1D_1}$, откуда $P_3 = A_1$.
- Прообраз точки $D$ — это точка $P_4$ такая, что $\vec{P_4D} = \vec{BC}$. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, получаем $\vec{P_4D} = \vec{AD}$, откуда $P_4 = A$.

Прообразами вершин $C, C_1, D_1, D$ являются соответственно точки $B, B_1, A_1, A$. Эти четыре точки образуют грань $ABB_1A_1$.

Ответ: грань $ABB_1A_1$.

7.3. Фигура состоит из трёх точек. Из какого количества точек может состоять параллельная проекция этой фигуры?

Параллельная проекция отображает точки пространства на плоскость вдоль параллельных прямых. Пусть исходная фигура состоит из трех точек $A$, $B$ и $C$. Их проекциями на плоскость будут точки $A'$, $B'$ и $C'$. Количество различных точек в проекции зависит от взаимного расположения исходных точек и направления проецирования.

Рассмотрим все возможные варианты:

Проекция может состоять из трёх точек

Это наиболее общий случай. Если ни одна из прямых, проходящих через пары точек ($AB$, $BC$, $AC$), не параллельна направлению проецирования, то все три точки $A$, $B$ и $C$ спроецируются в три различные точки $A'$, $B'$ и $C'$. Такая ситуация возникает, например, когда исходные три точки не лежат на одной прямой, а направление проецирования выбрано так, что оно не параллельно ни одной из прямых, соединяющих эти точки.

Проекция может состоять из двух точек

Это происходит, когда прямая, проходящая ровно через две из трех исходных точек (например, $A$ и $B$), параллельна направлению проецирования, а третья точка ($C$) не лежит на этой прямой. В этом случае точки $A$ и $B$ спроецируются в одну общую точку ($A' = B'$), а точка $C$ — в другую точку $C'$, не совпадающую с первой. В результате проекция будет состоять из двух точек. Для этого необходимо, чтобы исходные три точки не лежали на одной прямой.

Проекция может состоять из одной точки

Этот случай возможен, если все три исходные точки ($A$, $B$ и $C$) лежат на одной прямой, и эта прямая параллельна направлению проецирования. Тогда все три точки спроецируются в одну общую точку ($A' = B' = C'$).

Таким образом, в зависимости от расположения исходных точек и направления проецирования, итоговая фигура может состоять из разного количества точек.

Ответ: Параллельная проекция этой фигуры может состоять из одной, двух или трёх точек.

7.4. Может ли параллельной проекцией двух пересекающихся прямых быть: 1) две пересекающиеся прямые; 2) параллельные прямые; 3) одна прямая; 4) прямая и точка вне её?

Пусть даны две пересекающиеся в точке $M$ прямые $a$ и $b$. Эти прямые определяют в пространстве единственную плоскость $\alpha$. Пусть параллельное проектирование осуществляется на плоскость проекций $\beta$ в направлении, задаваемом прямой $l$.

1) две пересекающиеся прямые

Да, это возможно.
Это наиболее общий случай. Если направление проектирования $l$ не параллельно плоскости $\alpha$, в которой лежат исходные прямые $a$ и $b$, то оно не будет параллельно ни одной из этих прямых. В этом случае проекцией прямой $a$ будет прямая $a'$, а проекцией прямой $b$ — прямая $b'$. Точка пересечения $M$ принадлежит обеим прямым, поэтому ее проекция $M'$ будет принадлежать обеим проекциям $a'$ и $b'$, то есть будет их точкой пересечения. Таким образом, проекцией будут две пересекающиеся прямые.
Ответ: Да, может.

2) параллельные прямые

Нет, это невозможно.
При параллельном проектировании, если проекциями являются две различные прямые, то точка пересечения исходных прямых ($M$) проецируется в точку пересечения их проекций ($M'$). Параллельные прямые по определению не имеют точек пересечения. Так как у проекций $a'$ и $b'$ есть общая точка $M'$, они не могут быть параллельными.
Ответ: Нет, не может.

3) одна прямая

Да, это возможно.
Если направление проектирования $l$ параллельно плоскости $\alpha$, в которой лежат пересекающиеся прямые $a$ и $b$ (при этом $l$ не параллельна ни $a$, ни $b$), то вся плоскость $\alpha$ вместе с находящимися в ней прямыми спроецируется на одну прямую в плоскости $\beta$. Следовательно, проекции $a'$ и $b'$ совпадут.
Ответ: Да, может.

4) прямая и точка вне её

Нет, это невозможно.
Чтобы проекцией одной из прямых, например $b$, была точка, направление проектирования $l$ должно быть параллельно этой прямой ($l \parallel b$). Поскольку прямые $a$ и $b$ пересекаются, то $a$ не параллельна $b$, и, следовательно, не параллельна направлению проектирования $l$. Значит, проекцией прямой $a$ будет прямая $a'$.
Точка пересечения $M$ принадлежит обеим прямым. Ее проекция $M'$ должна принадлежать проекции каждой из них. Так как $M \in b$, ее проекция $M'$ совпадает с точкой, являющейся проекцией всей прямой $b$. Так как $M \in a$, ее проекция $M'$ должна лежать на прямой $a'$, которая является проекцией прямой $a$. Следовательно, точка-проекция всегда лежит на прямой-проекции. Получить прямую и точку вне её невозможно.
Ответ: Нет, не может.

7.5. Какая геометрическая фигура не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых:

1) две параллельные прямые;

2) две пересекающиеся прямые;

3) прямая;

4) прямая и точка вне её?

Рассмотрим возможные варианты параллельной проекции двух скрещивающихся прямых $a$ и $b$ на некоторую плоскость $P$ в направлении $s$. Проекцией прямой является либо прямая (если направление проецирования не параллельно прямой), либо точка (если направление проецирования параллельно прямой). Проекция всей фигуры (двух прямых) есть объединение проекций ее частей.

1) две параллельные прямые

Да, это возможно. Пусть даны скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проведем плоскость $\alpha$, параллельную прямой $b$. Такая плоскость единственна. Выберем направление проецирования $s$, параллельное плоскости $\alpha$, но не параллельное прямой $a$. Проецирующая плоскость для прямой $a$ (плоскость, проходящая через $a$ параллельно $s$) совпадет с плоскостью $\alpha$. Проецирующая плоскость для прямой $b$ (плоскость $\beta$, проходящая через $b$ параллельно $s$) будет параллельна плоскости $\alpha$, так как и прямая $b$, и направление $s$ параллельны $\alpha$. При проецировании на плоскость $P$, не параллельную плоскостям $\alpha$ и $\beta$, их линии пересечения с $P$ (проекции $a'$ и $b'$) будут параллельными прямыми.

2) две пересекающиеся прямые

Да, это возможно. Пусть $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые. Выберем на прямой $a$ точку $A$, а на прямой $b$ точку $B$. Зададим направление проецирования $s$ параллельно отрезку $AB$. Тогда точки $A$ и $B$ спроецируются в одну и ту же точку $M'$ на плоскости проекции $P$. Так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не могут быть обе параллельны отрезку $AB$. Поэтому их проекции $a'$ и $b'$ будут прямыми. Поскольку $A \in a$, то $M' \in a'$. Поскольку $B \in b$, то $M' \in b'$. Следовательно, прямые $a'$ и $b'$ пересекаются в точке $M'$.

3) прямая

Нет, это невозможно. Чтобы проекцией двух скрещивающихся прямых $a$ и $b$ была одна прямая, необходимо, чтобы объединение их проекций $a' \cup b'$ образовывало одну прямую. Это может произойти в двух случаях:
а) Проекции $a'$ и $b'$ совпадают. Это означало бы, что обе прямые $a$ и $b$ лежат в одной проецирующей плоскости. Но если две прямые лежат в одной плоскости, они либо параллельны, либо пересекаются, что противоречит условию, что они скрещивающиеся.
б) Проекция одной из прямых, например $b$, является точкой $B'$, которая лежит на проекции другой прямой $a'$. Для того чтобы проекция прямой $b$ была точкой, направление проецирования $s$ должно быть параллельно прямой $b$. Для того чтобы точка $B'$ лежала на прямой $a'$, необходимо, чтобы существовала точка $A$ на прямой $a$ такая, что отрезок $AB$ параллелен направлению проецирования $s$. То есть, нужно чтобы $AB \parallel b$. Но если $A \in a, B \in b$ и $AB \parallel b$, то прямые $a$ и $b$ должны лежать в одной плоскости (определяемой точкой $A$ и прямой $b$), то есть пересекаться или быть параллельными. Это снова противоречит условию, что прямые скрещиваются.Следовательно, проекция двух скрещивающихся прямых не может быть одной прямой.

4) прямая и точка вне её

Да, это возможно. Выберем направление проецирования $s$ параллельно одной из прямых, например, прямой $b$. Тогда проекцией прямой $b$ будет точка $B'$. Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещиваются, прямая $a$ не параллельна прямой $b$, а значит, и направлению $s$. Следовательно, проекцией прямой $a$ будет прямая $a'$. Как было доказано в пункте 3), точка $B'$ не может лежать на прямой $a'$. Таким образом, мы получаем в проекции прямую и точку вне её.

Из рассмотренных вариантов только одна прямая не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.

Ответ: 3) прямая.

7.6. 1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков?

2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков?

3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка?

4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?

1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков?

Да, могут. Длина параллельной проекции отрезка зависит не только от его собственной длины, но и от его расположения в пространстве относительно направления и плоскости проецирования. Можно подобрать такие углы, что проекции неравных отрезков окажутся равными.

Например, рассмотрим ортогональное проецирование (частный случай параллельного) на некоторую плоскость $\pi$.

Пусть отрезок $AB$ имеет длину 4 и образует с плоскостью $\pi$ угол $60^\circ$. Длина его проекции $A'B'$ будет равна $4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Пусть другой отрезок $CD$ имеет длину 2 и параллелен плоскости $\pi$ (то есть угол равен $0^\circ$). Длина его проекции $C'D'$ будет равна $2 \cdot \cos(0^\circ) = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, отрезки $AB$ и $CD$ не равны (длины 4 и 2), но их параллельные проекции $A'B'$ и $C'D'$ равны (длина каждой равна 2).

Ответ: Да, могут.

2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков?

Да, могут. Как и в предыдущем пункте, длина проекции зависит от расположения отрезка. Два равных отрезка, по-разному ориентированные в пространстве, могут иметь проекции разной длины.

Например, снова рассмотрим ортогональное проецирование на плоскость $\pi$.

Пусть отрезок $AB$ имеет длину 2 и параллелен плоскости $\pi$. Длина его проекции $A'B'$ будет равна 2.

Пусть другой отрезок $CD$, также имеющий длину 2, образует с плоскостью $\pi$ угол $60^\circ$. Длина его проекции $C'D'$ будет равна $2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Таким образом, отрезки $AB$ и $CD$ равны, но их проекции $A'B'$ (длина 2) и $C'D'$ (длина 1) не равны.

Ответ: Да, могут.

3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка?

Да, может. Это возможно в случае косоугольного (не ортогонального) проецирования.

Если направление проецирования не перпендикулярно плоскости проекции, то проекция отрезка может быть длиннее самого отрезка. Интуитивно это можно представить так: если лучи проекции "скользят" вдоль отрезка под очень острым углом, то их точки пересечения с плоскостью проекции окажутся на большом расстоянии друг от друга.

Рассмотрим пример в координатах. Пусть плоскость проекции — это плоскость $z=0$. Проецируемый отрезок $AB$ соединяет точки $A(0,0,1)$ и $B(0,0,2)$. Его длина равна 1. Направление проецирования задано вектором $\vec{v} = (3,0,1)$.

Проекция точки $A$ — это точка $A'$, в которой прямая, проходящая через $A$ параллельно $\vec{v}$, пересекает плоскость $z=0$. Уравнение этой прямой: $(0+3t, 0+0, 1+t)$. Пересечение с $z=0$ происходит при $1+t=0$, то есть $t=-1$. Координаты $A'$ будут $(-3,0,0)$.

Аналогично для точки $B$: прямая $(0+3t, 0+0, 2+t)$ пересекает $z=0$ при $2+t=0$, то есть $t=-2$. Координаты $B'$ будут $(-6,0,0)$.

Длина проекции $A'B'$ равна расстоянию между точками $A'(-3,0,0)$ и $B'(-6,0,0)$, что составляет $|-6 - (-3)| = 3$. Это больше, чем длина исходного отрезка, равная 1.

Ответ: Да, может.

4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?

Да, может. Параллельная проекция прямой может быть параллельна самой прямой. Это происходит в том случае, когда исходная прямая параллельна плоскости проекции (и при этом не параллельна направлению проецирования).

Представим себе плоскость проекции $\pi$ (например, пол) и прямую $l$, которая ей параллельна (например, стержень, который держат параллельно полу). Если мы будем проецировать эту прямую на плоскость $\pi$ в направлении, не параллельном самому стержню, то ее проекция $l'$ (тень стержня на полу) будет прямой, параллельной исходной прямой $l$.

Математически: пусть прямая $l$ параллельна плоскости $\pi$. Возьмем две любые точки $A$ и $B$ на прямой $l$. Их проекции $A'$ и $B'$ лежат на плоскости $\pi$. Фигура $ABB'A'$ является трапецией (или параллелограммом), так как отрезки $AA'$ и $BB'$ параллельны по определению параллельного проецирования. Прямая $AB$ (то есть $l$) и прямая $A'B'$ (то есть $l'$) лежат в одной плоскости (плоскости трапеции $ABB'A'$). Так как прямая $l$ параллельна плоскости $\pi$, она не может ее пересекать. Значит, прямая $l$ должна быть параллельна линии пересечения своей плоскости с плоскостью $\pi$. Этой линией пересечения как раз и является проекция $l'$. Следовательно, $l \parallel l'$.

Ответ: Да, может.

7.7. Может ли фигура, изображённая на рисунке 7.24, быть параллельной проекцией треугольника $ABC$?

Рис. 7.24

Да, фигура, изображённая на рисунке, может быть параллельной проекцией треугольника $ABC$.

По определению, треугольник $ABC$ — это фигура, образованная тремя точками $A$, $B$ и $C$, не лежащими на одной прямой. Эти три вершины однозначно определяют плоскость, в которой лежит данный треугольник. Обозначим эту плоскость как $\alpha$.

При параллельном проектировании все точки фигуры переносятся на плоскость проекций $\pi$ вдоль параллельных прямых, которые задают направление проектирования $l$.

Проекцией треугольника может быть отрезок прямой. Это происходит в том и только в том случае, когда плоскость $\alpha$, содержащая треугольник, параллельна направлению проектирования $l$ (при этом сама плоскость $\alpha$ не параллельна плоскости проекций $\pi$).

В этой ситуации все точки плоскости $\alpha$, включая вершины треугольника $A$, $B$ и $C$, проецируются на прямую, которая является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости проекций $\pi$. Следовательно, проекции вершин, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$, будут лежать на одной прямой, то есть будут коллинеарными, как и показано на рисунке 7.24.

Таким образом, отрезок с тремя отмеченными на нём точками может являться параллельной проекцией треугольника.

Ответ: Да, может.

7.8. Может ли параллельной проекцией трапеции быть четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ которого соответственно равны:

1) $10^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 170^\circ;$

2) $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ?$

1)

Основное свойство параллельного проецирования заключается в том, что параллельность прямых сохраняется. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны (основания) параллельны. Следовательно, параллельная проекция трапеции также должна быть четырехугольником, у которого одна пара сторон параллельна, то есть проекция трапеции всегда является трапецией или ее частным случаем — параллелограммом.

Четырехугольник является трапецией, если сумма его углов, прилежащих к одной из боковых сторон, равна $180^\circ$. Проверим, является ли четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ с углами $\angle A_1 = 10^\circ$, $\angle B_1 = 40^\circ$, $\angle C_1 = 140^\circ$ и $\angle D_1 = 170^\circ$ трапецией.

Сумма всех углов четырехугольника: $10^\circ + 40^\circ + 140^\circ + 170^\circ = 360^\circ$, что является верным для любого выпуклого четырехугольника.

Рассмотрим возможные пары параллельных сторон:

а) Пусть основаниями являются $A_1D_1$ и $B_1C_1$. Тогда боковыми сторонами будут $A_1B_1$ и $C_1D_1$. В этом случае должно выполняться условие $\angle A_1 + \angle B_1 = 180^\circ$ и $\angle C_1 + \angle D_1 = 180^\circ$. Проверим: $\angle A_1 + \angle B_1 = 10^\circ + 40^\circ = 50^\circ \neq 180^\circ$. Следовательно, эта пара сторон не может быть параллельной.

б) Пусть основаниями являются $A_1B_1$ и $C_1D_1$. Тогда боковыми сторонами будут $A_1D_1$ и $B_1C_1$. В этом случае должно выполняться условие $\angle A_1 + \angle D_1 = 180^\circ$ и $\angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$. Проверим:

$\angle A_1 + \angle D_1 = 10^\circ + 170^\circ = 180^\circ$.

$\angle B_1 + \angle C_1 = 40^\circ + 140^\circ = 180^\circ$.

Оба условия выполняются, значит, стороны $A_1B_1$ и $C_1D_1$ параллельны. Следовательно, данный четырехугольник является трапецией. Так как он является трапецией, он может быть параллельной проекцией некоторой другой трапеции.

Ответ: да, может.

2)

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ с углами $\angle A_1 = 50^\circ$, $\angle B_1 = 130^\circ$, $\angle C_1 = 50^\circ$ и $\angle D_1 = 130^\circ$.

Сумма всех углов четырехугольника: $50^\circ + 130^\circ + 50^\circ + 130^\circ = 360^\circ$.

В данном четырехугольнике противолежащие углы попарно равны: $\angle A_1 = \angle C_1$ и $\angle B_1 = \angle D_1$. Четырехугольник, у которого противолежащие углы попарно равны, является параллелограммом.

Параллелограмм является частным случаем трапеции, так как у него есть как минимум одна пара параллельных сторон (на самом деле их две).

Поскольку параллельная проекция трапеции всегда является трапецией (или ее частным случаем), а данный четырехугольник является параллелограммом, он может быть параллельной проекцией трапеции.

Ответ: да, может.

7.9. Может ли параллельной проекцией параллелограмма быть четырёхугольник со сторонами:

1) 6 см, 8 см, 6 см, 9 см;

2) 12 см, 12 см, 12 см, 12 см?

1) При параллельном проецировании параллелограмма его проекцией также является параллелограмм (в невырожденном случае, когда проекция не является отрезком). Основным свойством параллелограмма является равенство его противоположных сторон. Рассмотрим четырехугольник со сторонами 6 см, 8 см, 6 см, 9 см. Чтобы он был параллелограммом, его противоположные стороны должны быть попарно равны. В данном наборе длин есть одна пара равных сторон (6 см и 6 см), но вторая пара сторон (8 см и 9 см) не равна между собой. Следовательно, четырехугольник с такими сторонами не является параллелограммом и не может быть проекцией другого параллелограмма.
Ответ: нет.

2) Рассмотрим четырехугольник со сторонами 12 см, 12 см, 12 см, 12 см. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Ромб — это частный случай параллелограмма, так как его противоположные стороны равны и параллельны. Поскольку проекцией параллелограмма является параллелограмм, а ромб является параллелограммом, то такая ситуация возможна. Например, если взять квадрат (который является параллелограммом) со стороной 12 см и спроецировать его на плоскость, параллельную плоскости квадрата, то его проекцией будет тот же самый квадрат, который является ромбом со сторонами 12 см.
Ответ: да.

7.10. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекциями соответственно точек $A$, $B$ и $C$, лежащих на одной прямой (точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$). Найдите отрезок $B_1C_1$, если $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $A_1B_1 = 12$ см.

При параллельном проецировании отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется. Это означает, что если точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, а $A_1$, $B_1$, $C_1$ — их параллельные проекции, то выполняется следующее соотношение:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1} $

По условию задачи нам даны следующие значения:

• $AB = 8$ см
• $BC = 6$ см
• $A_1B_1 = 12$ см

Подставим известные значения в формулу пропорции:

$ \frac{8}{6} = \frac{12}{B_1C_1} $

Теперь решим это уравнение относительно $B_1C_1$. Для этого можно использовать правило креста (произведение крайних членов пропорции равно произведению средних):

$ 8 \cdot B_1C_1 = 6 \cdot 12 $

$ 8 \cdot B_1C_1 = 72 $

$ B_1C_1 = \frac{72}{8} $

$ B_1C_1 = 9 $ см.

Ответ: 9 см.

7.11. На рисунке 7.25 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, на ребре $CD$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного куба при симметрии относительно:

1) вершины $B_1$;

2) точки $M$.

Рис. 7.25

Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) — это преобразование пространства, при котором любая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что $O$ является серединой отрезка $PP'$. Образом фигуры при центральной симметрии является фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры.

Для построения образа куба необходимо построить образы всех его восьми вершин, а затем соединить их соответствующими ребрами.

1) вершины B₁;

В данном случае центром симметрии является вершина куба $B_1$.

1. Найдем образ каждой вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ при симметрии относительно точки $B_1$. Образом куба будет новый куб, равный исходному.
2. Вершина $B_1$, будучи центром симметрии, отображается сама в себя.
3. Для нахождения образа любой другой вершины $X$ нужно провести прямую через $X$ и $B_1$, а затем на этой прямой отложить от точки $B_1$ отрезок $B_1X'$, равный по длине отрезку $XB_1$, в направлении, противоположном лучу $B_1X$. Точка $X'$ и будет образом точки $X$.
4. Найдем образы вершин, смежных с $B_1$: $A_1, C_1, B$.
   • Образ $A_1$ (обозначим $A'_1$) строится путем продления ребра $A_1B_1$ за точку $B_1$ на его длину.
   • Образ $C_1$ (обозначим $C'_1$) строится путем продления ребра $C_1B_1$ за точку $B_1$ на его длину.
   • Образ $B$ (обозначим $B'$) строится путем продления ребра $BB_1$ за точку $B_1$ на его длину.
5. Ребра исходного куба $B_1A_1, B_1C_1, B_1B$ являются тремя взаимно перпендикулярными ребрами, выходящими из вершины $B_1$. Их образы, $B_1A'_1, B_1C'_1, B_1B'$, также будут тремя взаимно перпендикулярными ребрами нового куба, выходящими из общей вершины $B_1$.
6. Аналогично строятся образы остальных вершин: $A, C, D, D_1$. Например, для нахождения образа $D'$ вершины $D$ нужно продлить пространственную диагональ $DB_1$ за точку $B_1$ на ее длину.
7. После нахождения образов всех вершин, их следует соединить ребрами, чтобы получить искомый куб. Например, так как $ABCD$ — грань исходного куба, то $A'B'C'D'$ — грань нового куба (где $A', B', C', D'$ — образы вершин $A, B, C, D$ соответственно).

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно вершины $B_1$ является другой куб, равный исходному, который имеет с ним одну общую точку — вершину $B_1$.

2) точки M.

В данном случае центром симметрии является точка $M$, лежащая на ребре $CD$.

1. Принцип построения остается тем же: для каждой вершины $X$ исходного куба ее образ $X''$ находится на прямой $XM$ по другую сторону от $M$ на расстоянии, равном $XM$.
2. Найдем образы вершин, лежащих на ребре $CD$:
   • Образ $C''$ вершины $C$ лежит на прямой $CD$ так, что $M$ — середина отрезка $CC''$.
   • Образ $D''$ вершины $D$ лежит на прямой $CD$ так, что $M$ — середина отрезка $DD''$.
   • Образом ребра $CD$ будет отрезок $C''D''$, лежащий на той же прямой. Точка $M$ принадлежит обоим этим отрезкам.
3. Найдем образы остальных шести вершин ($A, B, A_1, B_1, C_1, D_1$), проведя через каждую из них и точку $M$ прямую и отложив на ней соответствующий отрезок.
4. Соединив полученные точки-образы, мы получим новый куб, равный исходному.
5. Проанализируем расположение нового куба.
   • Грань $ABCD$ исходного куба лежит в некоторой плоскости. Ее образ, грань $A''B''C''D''$, будет лежать в той же самой плоскости. Эти две грани-квадраты будут симметричны друг другу относительно точки $M$.
   • Вертикальные ребра исходного куба ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) перпендикулярны плоскости основания. Их образы ($A''A''_1, B''B''_1, C''C''_1, D''D''_1$) также будут перпендикулярны этой плоскости, но направлены в противоположную сторону.
   • Таким образом, исходный куб и его образ расположены "по разные стороны" от плоскости, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной ребру $CD$, но их основания лежат в одной плоскости.

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно точки $M$ на ребре $CD$ является другой куб, равный исходному. Основание нового куба лежит в той же плоскости, что и основание $ABCD$ исходного, и симметрично ему относительно точки $M$. Исходный и полученный кубы имеют одну общую точку — $M$.