Номер 7.8, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.8. Может ли параллельной проекцией трапеции быть четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ которого соответственно равны:

1) $10^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 170^\circ;$

2) $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ?$

1)

Основное свойство параллельного проецирования заключается в том, что параллельность прямых сохраняется. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны (основания) параллельны. Следовательно, параллельная проекция трапеции также должна быть четырехугольником, у которого одна пара сторон параллельна, то есть проекция трапеции всегда является трапецией или ее частным случаем — параллелограммом.

Четырехугольник является трапецией, если сумма его углов, прилежащих к одной из боковых сторон, равна $180^\circ$. Проверим, является ли четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ с углами $\angle A_1 = 10^\circ$, $\angle B_1 = 40^\circ$, $\angle C_1 = 140^\circ$ и $\angle D_1 = 170^\circ$ трапецией.

Сумма всех углов четырехугольника: $10^\circ + 40^\circ + 140^\circ + 170^\circ = 360^\circ$, что является верным для любого выпуклого четырехугольника.

Рассмотрим возможные пары параллельных сторон:

а) Пусть основаниями являются $A_1D_1$ и $B_1C_1$. Тогда боковыми сторонами будут $A_1B_1$ и $C_1D_1$. В этом случае должно выполняться условие $\angle A_1 + \angle B_1 = 180^\circ$ и $\angle C_1 + \angle D_1 = 180^\circ$. Проверим: $\angle A_1 + \angle B_1 = 10^\circ + 40^\circ = 50^\circ \neq 180^\circ$. Следовательно, эта пара сторон не может быть параллельной.

б) Пусть основаниями являются $A_1B_1$ и $C_1D_1$. Тогда боковыми сторонами будут $A_1D_1$ и $B_1C_1$. В этом случае должно выполняться условие $\angle A_1 + \angle D_1 = 180^\circ$ и $\angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$. Проверим:

$\angle A_1 + \angle D_1 = 10^\circ + 170^\circ = 180^\circ$.

$\angle B_1 + \angle C_1 = 40^\circ + 140^\circ = 180^\circ$.

Оба условия выполняются, значит, стороны $A_1B_1$ и $C_1D_1$ параллельны. Следовательно, данный четырехугольник является трапецией. Так как он является трапецией, он может быть параллельной проекцией некоторой другой трапеции.

Ответ: да, может.

2)

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ с углами $\angle A_1 = 50^\circ$, $\angle B_1 = 130^\circ$, $\angle C_1 = 50^\circ$ и $\angle D_1 = 130^\circ$.

Сумма всех углов четырехугольника: $50^\circ + 130^\circ + 50^\circ + 130^\circ = 360^\circ$.

В данном четырехугольнике противолежащие углы попарно равны: $\angle A_1 = \angle C_1$ и $\angle B_1 = \angle D_1$. Четырехугольник, у которого противолежащие углы попарно равны, является параллелограммом.

Параллелограмм является частным случаем трапеции, так как у него есть как минимум одна пара параллельных сторон (на самом деле их две).

Поскольку параллельная проекция трапеции всегда является трапецией (или ее частным случаем), а данный четырехугольник является параллелограммом, он может быть параллельной проекцией трапеции.

Ответ: да, может.