Номер 7.1, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 7.23).

При некотором параллельном переносе образом точки $A$ является точка $A_1$. Какая фигура является при данном параллельном переносе образом:

1) точки $D$;

2) отрезка $AB$;

3) отрезка $BC$;

4) отрезка $AC$?

Рис. 7.23

По условию задачи, при некотором параллельном переносе образом точки $A$ является точка $A_1$. Это означает, что данный параллельный перенос задается вектором $\vec{a} = \vec{AA_1}$. Параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ переводит любую точку $M$ в точку $M'$ так, что $\vec{MM'} = \vec{a}$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все боковые ребра равны и параллельны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

1) точки D
Образом точки $D$ будет точка $D'$, для которой выполняется равенство $\vec{DD'} = \vec{AA_1}$. Так как в кубе $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$, то образом точки $D$ является точка $D_1$.
Ответ: точка $D_1$.

2) отрезка AB
При параллельном переносе отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок. Чтобы найти образ отрезка $AB$, нужно найти образы его концов - точек $A$ и $B$.
Образом точки $A$ по условию является точка $A_1$.
Образом точки $B$ является точка $B'$, для которой $\vec{BB'} = \vec{AA_1}$. Так как $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$, то образом точки $B$ является точка $B_1$.
Следовательно, образом отрезка $AB$ является отрезок $A_1B_1$.
Ответ: отрезок $A_1B_1$.

3) отрезка BC
Аналогично найдем образы концов отрезка $BC$.
Образом точки $B$ является точка $B_1$.
Образом точки $C$ является точка $C'$, для которой $\vec{CC'} = \vec{AA_1}$. Так как $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$, то образом точки $C$ является точка $C_1$.
Следовательно, образом отрезка $BC$ является отрезок $B_1C_1$.
Ответ: отрезок $B_1C_1$.

4) отрезка AC
Найдем образы концов отрезка $AC$.
Образом точки $A$ является точка $A_1$.
Образом точки $C$ является точка $C_1$.
Следовательно, образом отрезка $AC$ (диагонали нижнего основания) является отрезок $A_1C_1$ (диагональ верхнего основания).
Ответ: отрезок $A_1C_1$.