Номер 6.47, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.47. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) медиана $AM$ пересекает высоту $CD$ в точке $K$. Найдите отношение $CK : KD$, если $\angle BAC = 60^\circ$.

Рассмотрим данный прямоугольный треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle BAC = 60^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то третий угол $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Для удобства вычислений введем обозначение для длины катета $AC$. Пусть $AC = b$. Тогда из тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC$ можно выразить длину гипотенузы $AB$:$AB = \frac{AC}{\cos(\angle BAC)} = \frac{b}{\cos(60^\circ)} = \frac{b}{1/2} = 2b$.

Поскольку $CD$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AB$, то $\triangle ADC$ также является прямоугольным ($\angle CDA = 90^\circ$). В этом треугольнике известен угол $\angle DAC = 60^\circ$ и гипотенуза $AC = b$. Найдем длину катета $AD$:$AD = AC \cdot \cos(\angle DAC) = b \cdot \cos(60^\circ) = b \cdot \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$.

Теперь мы можем найти отношение длин отрезков $BA$ и $AD$, которое понадобится нам в дальнейшем:$\frac{BA}{AD} = \frac{2b}{b/2} = 4$.

Для нахождения искомого отношения $CK:KD$ воспользуемся теоремой Менелая. Рассмотрим треугольник $CDB$ и прямую $AM$ в качестве секущей. Эта прямая пересекает сторону $CD$ в точке $K$, сторону $CB$ в точке $M$ и продолжение стороны $DB$ в точке $A$.

По теореме Менелая для $\triangle CDB$ и секущей $AMK$ справедливо следующее соотношение:$\frac{CM}{MB} \cdot \frac{BA}{AD} \cdot \frac{DK}{KC} = 1$.

Найдем значения отношений в этой формуле. По условию, $AM$ — медиана, следовательно, точка $M$ является серединой стороны $BC$, откуда $CM = MB$ и $\frac{CM}{MB} = 1$. Отношение $\frac{BA}{AD}$ мы уже вычислили, оно равно 4.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:$1 \cdot 4 \cdot \frac{DK}{KC} = 1$.

Из этого уравнения выразим отношение $\frac{DK}{KC}$:$4 \cdot \frac{DK}{KC} = 1 \implies \frac{DK}{KC} = \frac{1}{4}$.

Искомое отношение $CK:KD$ является обратным к найденному:$\frac{CK}{KD} = \frac{1}{DK/KC} = \frac{1}{1/4} = 4$.

Таким образом, отношение $CK:KD$ равно $4:1$.

Ответ: $4:1$.