Номер 6.40, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.40. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $DB_1$ и параллельной прямой $AD_1$.

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $DB_1$ и параллельна прямой $AD_1$.

Построение сечения будем выполнять по шагам, находя точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами куба.

1. Анализ параллельности

Рассмотрим диагонали граней $AD_1$ и $BC_1$. В кубе грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Отрезок $AD$ параллелен и равен отрезку $BC$. Отрезок $AA_1$ параллелен и равен отрезку $BB_1$, а также отрезку $CC_1$. Отсюда следует, что четырехугольник $AD_1C_1B$ является параллелограммом, а значит, прямая $AD_1$ параллельна прямой $BC_1$.

Так как по условию плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AD_1$, а $AD_1 \parallel BC_1$, то плоскость $\alpha$ также параллельна прямой $BC_1$.

2. Построение следа сечения на грани $BCC_1B_1$

Будем использовать свойство: если плоскость ($\alpha$) параллельна некоторой прямой ($BC_1$), то линия пересечения этой плоскости с любой плоскостью ($\beta$), содержащей данную прямую, будет параллельна этой прямой.

В нашем случае:

• Плоскость сечения $\alpha$ параллельна прямой $BC_1$.
• Плоскость грани $BCC_1B_1$ содержит прямую $BC_1$.
• Точка $B_1$ принадлежит как плоскости сечения $\alpha$ (поскольку $DB_1 \subset \alpha$), так и грани $BCC_1B_1$.

Следовательно, линия пересечения (след) плоскости $\alpha$ с гранью $BCC_1B_1$ — это прямая, проходящая через точку $B_1$ параллельно прямой $BC_1$.

Проведем на грани $BCC_1B_1$ через вершину $B_1$ прямую, параллельную диагонали $BC_1$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в его середине. Обозначим эту точку как $K$. Таким образом, отрезок $B_1K$ — это один из отрезков искомого сечения.

3. Построение остальных отрезков сечения

Теперь у нас есть три точки, принадлежащие плоскости сечения: $D$, $B_1$ и $K$. Так как три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость, мы можем построить остальные отрезки сечения.

• След на грани $ABCD$: Плоскость сечения проходит через точки $D$ и $K$, обе из которых лежат в плоскости грани $ABCD$. Следовательно, отрезок $DK$ является следом сечения на этой грани.
• След на грани $A_1B_1C_1D_1$: Плоскости граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Значит, плоскость $\alpha$ пересекает их по параллельным прямым. Таким образом, след сечения на верхней грани должен быть параллелен отрезку $DK$. Проведем через точку $B_1$ прямую, параллельную $DK$. Эта прямая пересечет ребро $D_1C_1$ в его середине. Обозначим эту точку как $M$. Отрезок $B_1M$ — это след сечения на верхней грани.
• След на грани $CDD_1C_1$: Плоскость сечения проходит через точки $D$ и $M$, обе из которых лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$. Соединив их, получаем последний отрезок сечения $MD$.

4. Итоговое сечение

Мы последовательно построили четыре отрезка: $DK$, $KB_1$, $B_1M$ и $MD$. Они образуют замкнутый четырехугольник $DKB_1M$, который и является искомым сечением.

Можно доказать, что $DKB_1M$ — это параллелограмм (и даже ромб), так как его противоположные стороны параллельны (по построению и из-за пересечения секущей плоскостью параллельных граней куба).

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $DKB_1M$, где $K$ — середина ребра $BC$, а $M$ — середина ребра $D_1C_1$.