Номер 6.37, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.37. Точка $M$ — середина ребра $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ содержат соответственно прямые $A_1M$ и $D_1C$. Постройте сечения куба плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Для решения задачи проанализируем взаимное расположение прямых $A_1M$ и $D_1C$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через три вершины куба: $A_1$, $D_1$ и $C$. Обозначим эту плоскость $\gamma$.

1. Плоскость $\gamma$ пересекает верхнюю грань куба $A_1B_1C_1D_1$ по прямой $A_1D_1$, так как обе точки $A_1$ и $D_1$ принадлежат этой грани.

2. Плоскость $\gamma$ пересекает заднюю грань куба $DCC_1D_1$ по прямой $D_1C$, так как обе точки $D_1$ и $C$ принадлежат этой грани.

3. Плоскости верхней и нижней граней куба параллельны ($A_1B_1C_1D_1 \parallel ABCD$). Следовательно, плоскость $\gamma$ пересекает их по параллельным прямым. Прямая пересечения с верхней гранью — $A_1D_1$. Значит, прямая пересечения с нижней гранью проходит через точку $C$ (которая принадлежит $\gamma$ и нижней грани) и параллельна $A_1D_1$. В кубе ребро $BC$ параллельно ребру $A_1D_1$. Следовательно, плоскость $\gamma$ пересекает нижнюю грань по прямой $BC$.

4. Поскольку плоскость $\gamma$ пересекает нижнюю грань по прямой $BC$, она содержит весь отрезок $BC$. Точка $M$ является серединой ребра $BC$, значит, точка $M$ также принадлежит плоскости $\gamma$.

Из этого следует, что все четыре точки — $A_1$, $M$, $D_1$ и $C$ — лежат в одной плоскости $\gamma$. Таким образом, прямые $A_1M$ и $D_1C$ являются копланарными (лежат в одной плоскости).

По условию, плоскость $\alpha$ содержит прямую $A_1M$, а плоскость $\beta$ содержит прямую $D_1C$, и при этом плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Поскольку прямые $A_1M$ и $D_1C$ лежат в одной плоскости $\gamma$ и не параллельны друг другу (это можно проверить, введя систему координат), то содержащие их параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ могут быть только одной и той же плоскостью, совпадающей с $\gamma$. То есть, $\alpha = \beta = \gamma$.

Следовательно, нам нужно построить одно сечение, которое будет являться решением для обеих плоскостей.

Постройте сечения куба плоскостями $\alpha$ и $\beta$

Исходя из вышесказанного, сечения куба плоскостями $\alpha$ и $\beta$ совпадают. Построим это сечение, которое определяется плоскостью $\gamma$, проходящей через точки $A_1$, $D_1$ и $C$.

1. Соединяем точки $A_1$ и $D_1$, лежащие в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Получаем сторону сечения — ребро $A_1D_1$.
2. Соединяем точки $D_1$ и $C$, лежащие в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Получаем сторону сечения — диагональ $D_1C$.
3. Плоскость сечения пересекает параллельные грани $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ по параллельным прямым. Так как линия пересечения с верхней гранью — $A_1D_1$, то линия пересечения с нижней гранью — прямая, проходящая через точку $C$ параллельно $A_1D_1$. Этой прямой является прямая $BC$. Таким образом, сечение содержит ребро $BC$.
4. Соединяем оставшиеся вершины $B$ и $A_1$, которые лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Получаем последнюю сторону сечения — диагональ $BA_1$.

Искомое сечение — четырехугольник $A_1BCD_1$.

Ответ: Сечения куба плоскостями $\alpha$ и $\beta$ совпадают и представляют собой четырехугольник $A_1BCD_1$.