Номер 6.30, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.30. Прямая $a$ и основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. $6.23$). На ребре $AB$ отметили точку $E$, на ребре $C_1D_1$ — точку $F$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой $a$ и проходящей через точки $E$ и $F$.

Рис. $6.23$

Для построения сечения параллелепипеда плоскостью $ \beta $, которая проходит через точки $E$ и $F$ и параллельна прямой $a$, воспользуемся методом следов и свойством параллельности плоскостей.

План построения:

1. Построить линию пересечения (след) секущей плоскости $ \beta $ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.
2. Используя параллельность верхнего и нижнего оснований, построить след секущей плоскости $ \beta $ на плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$.
3. Последовательно соединить полученные точки, строя стороны сечения на боковых гранях параллелепипеда.

Построение:

1. Построение следа на нижней грани.Секущая плоскость $ \beta $ проходит через точку $E$, которая лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$. По условию, плоскость $ \beta $ параллельна прямой $a$, которая также лежит в плоскости $(ABC)$. Согласно свойству, если плоскость ($ \beta $) проходит через точку ($E$), лежащую в другой плоскости ($(ABC)$), и параллельна прямой ($a$), лежащей в той же плоскости, то линия их пересечения проходит через данную точку ($E$) параллельно данной прямой ($a$).

В плоскости нижнего основания $(ABC)$ проведем прямую через точку $E$ параллельно прямой $a$. Эта прямая пересечет одно из ребер основания, в зависимости от расположения точки $E$ и направления прямой $a$. Предположим, что она пересекает ребро $AD$ в точке $K$. Таким образом, отрезок $EK$ является стороной искомого сечения, лежащей на грани $ABCD$.

2. Построение следа на верхней грани.Плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $(ABC)$. Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Следовательно, след плоскости $ \beta $ на верхней грани должен быть параллелен ее следу на нижней грани, то есть отрезку $EK$.

Секущая плоскость $ \beta $ проходит через точку $F$, которая лежит на ребре $C_1D_1$ и, следовательно, в плоскости верхней грани. Проведем в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ через точку $F$ прямую, параллельную $EK$ (и, соответственно, прямой $a$). Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $L$. Отрезок $LF$ является стороной сечения, лежащей на грани $A_1B_1C_1D_1$.

3. Построение сечения на боковых гранях.На данный момент мы имеем четыре вершины сечения: $E$ на ребре $AB$, $K$ на ребре $AD$, $L$ на ребре $A_1B_1$ и $F$ на ребре $C_1D_1$. Теперь построим стороны сечения на боковых гранях.

• Точки $E$ и $L$ лежат в плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Соединив их, получим отрезок $EL$ — сторону сечения на передней грани.
• Задняя грань $(CDD_1C_1)$ параллельна передней грани $(ABB_1A_1)$. Следовательно, сторона сечения на задней грани должна быть параллельна стороне $EL$. Проведем через точку $F$ прямую, параллельную $EL$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в точке $M$. Отрезок $FM$ — сторона сечения на задней грани.

4. Завершение построения.Мы получили пять вершин: $E, K, M, F, L$. Соединим их последовательно, чтобы получить искомое сечение.

• Вершины $K$ и $M$ лежат на ребрах $AD$ и $CD$ соответственно. Обе точки принадлежат плоскости нижнего основания $(ABC)$. Соединим их отрезком $KM$.
• Проверим последовательность вершин: $E \to L \to F \to M \to K \to E$.
• $EL$ — на передней грани $(ABB_1A_1)$.
• $LF$ — на верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$.
• $FM$ — на задней грани $(CDD_1C_1)$.
• $MK$ — на нижней грани $(ABCD)$.
• $KE$ — также на нижней грани $(ABCD)$.

Из последнего пункта следует, что точки $E, K, M$ лежат на одной прямой — следе секущей плоскости на нижнем основании. Таким образом, сечением является не шестиугольник, а пятиугольник $ELFMK$.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $ELFMK$, построенный в соответствии с описанными шагами. Стороны пятиугольника лежат на гранях параллелепипеда: $EL$ на грани $ABB_1A_1$, $LF$ на $A_1B_1C_1D_1$, $FM$ на $CDD_1C_1$, $MK$ и $KE$ на $ABCD$.