Номер 6.29, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.29. Прямая $a$ и основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. 6.22). На ребре $AD$ отметили точку $E$, на ребре $CC_1$ — точку $F$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой $a$ и проходящей через точки $E$ и $F$.

Рис. 6.22

Обозначим искомую секущую плоскость через $\beta$. Согласно условию, плоскость $\beta$ проходит через точки $E$ и $F$ и параллельна прямой $a$. Построение сечения выполним в несколько шагов.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

Так как секущая плоскость $\beta$ параллельна прямой $a$, она должна содержать прямую, параллельную $a$. Точка $E$ принадлежит плоскости $\beta$ и одновременно лежит в плоскости основания $ABCD$ (в которой также лежит прямая $a$). Следовательно, линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $ABCD$ проходит через точку $E$ и параллельна прямой $a$.

Проведем в плоскости $ABCD$ через точку $E$ прямую, параллельную прямой $a$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BC$ в точке $H$. Отрезок $EH$ является линией пересечения секущей плоскости $\beta$ с гранью $ABCD$. Таким образом, $EH \parallel a$.

2. Построение линии пересечения с боковой гранью $BCC_1B_1$

Точки $H$ и $F$ принадлежат секущей плоскости $\beta$. Также они обе лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$, так как $H \in BC$ и $F \in CC_1$. Соединив точки $F$ и $H$, получим отрезок $FH$, который является линией пересечения плоскости $\beta$ с гранью $BCC_1B_1$.

3. Построение линии пересечения с боковой гранью $ADD_1A_1$

Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллелепипеда параллельны. По свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Наша секущая плоскость $\beta$ пересекает параллельные грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Линия пересечения с гранью $BCC_1B_1$ — это отрезок $FH$. Следовательно, линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ должна проходить через точку $E$ (которая лежит в этой грани) и быть параллельной отрезку $FH$.

Проведем в плоскости грани $ADD_1A_1$ через точку $E$ прямую, параллельную $FH$. Пусть эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $G$. Отрезок $EG$ является линией пересечения плоскости $\beta$ с гранью $ADD_1A_1$. Таким образом, $EG \parallel FH$.

4. Завершение построения сечения

Мы получили точки сечения $G$ на ребре $DD_1$ и $F$ на ребре $CC_1$. Обе эти точки лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком $GF$. Этот отрезок является линией пересечения плоскости $\beta$ с гранью $CDD_1C_1$.

В результате выполненных построений получен замкнутый четырехугольник $EHFG$. Его вершины лежат на ребрах параллелепипеда, а стороны являются линиями пересечения секущей плоскости с его гранями. Четырехугольник $EHFG$ и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $EHFG$, где $H$ — точка пересечения прямой, проходящей через $E$ в плоскости $ABCD$ параллельно прямой $a$, с ребром $BC$; а $G$ — точка пересечения прямой, проходящей через $E$ в плоскости $ADD_1A_1$ параллельно отрезку $FH$, с ребром $DD_1$.