Номер 6.22, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.22. Точка K принадлежит грани BCD тетраэдра DABC (рис. 6.20). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку K параллельно плоскости ABD.

Рис. 6.20

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию, она проходит через точку $K$ и параллельна плоскости $(ABD)$. Построение сечения основывается на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1. Построение в грани BCD
Плоскость грани $(BCD)$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $(ABD)$. Линия пересечения плоскостей $(BCD)$ и $(ABD)$ — это прямая $BD$. Следовательно, плоскость $\alpha$ будет пересекать грань $(BCD)$ по прямой, параллельной $BD$.
Проведем в плоскости $(BCD)$ через точку $K$ прямую, параллельную ребру $BD$. Пусть эта прямая пересекает ребра $DC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $MN$ является стороной искомого сечения.

2. Построение в грани ACD
Теперь рассмотрим плоскость грани $(ACD)$. Она также пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $(ABD)$. Линия их пересечения — прямая $AD$. Значит, плоскость $\alpha$ пересечет грань $(ACD)$ по прямой, параллельной $AD$.
Через точку $M$, которая уже принадлежит сечению и грани $(ACD)$, проведем в плоскости $(ACD)$ прямую, параллельную ребру $AD$. Пусть она пересечет ребро $AC$ в точке $P$. Отрезок $MP$ — это вторая сторона сечения.

3. Завершение построения
Точки $P$ и $N$ принадлежат как плоскости сечения $\alpha$, так и плоскости грани $(ABC)$. Соединив их, мы получим отрезок $PN$ — третью сторону сечения, лежащую на грани $(ABC)$.
Таким образом, треугольник $MNP$ является искомым сечением. Его плоскость $(MNP)$ проходит через точку $K$ (так как $K \in MN$) и параллельна плоскости $(ABD)$ (так как две пересекающиеся прямые $MN$ и $MP$ в плоскости $(MNP)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $BD$ и $AD$ в плоскости $(ABD)$).

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MNP$, где $M \in DC$, $N \in BC$, $P \in AC$. Построение заключается в последовательном проведении прямых: 1) в плоскости $(BCD)$ через точку $K$ проводится прямая до пересечения с ребрами $DC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ параллельно $BD$; 2) в плоскости $(ACD)$ через точку $M$ проводится прямая до пересечения с ребром $AC$ в точке $P$ параллельно $AD$; 3) точки $P$ и $N$ соединяются.