Номер 6.25, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.25. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.

Для доказательства утверждения необходимо установить два факта: существование такой пары параллельных плоскостей и ее единственность.

1. Существование

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна.

Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$ (они не могут быть параллельны, так как в противном случае было бы $a \parallel b$, что противоречит условию о скрещивающихся прямых). Две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$.

По построению, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ ($a \subset \alpha$). Также, поскольку $b' \subset \alpha$ и $b' \parallel b$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$). Прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$, так как иначе прямые $a$ и $b$ лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию.

Аналогично, возьмем на прямой $b$ произвольную точку $N$. Через точку $N$ проведем прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Прямые $b$ и $a'$ пересекаются в точке $N$ и задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\beta$.

По построению, плоскость $\beta$ содержит прямую $b$ ($b \subset \beta$), и по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

Докажем, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Плоскость $\alpha$ определяется пересекающимися прямыми $a$ и $b'$. Плоскость $\beta$ определяется пересекающимися прямыми $b$ и $a'$. При этом по построению $a \parallel a'$ и $b \parallel b'$.

По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости ($a$ и $b'$) соответственно параллельны двум прямым другой плоскости ($a'$ и $b$), то эти плоскости параллельны. Следовательно, $\alpha \parallel \beta$.

Таким образом, мы построили пару параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$, таких, что одна из них проходит через прямую $a$, а другая — через прямую $b$. Существование доказано.

2. Единственность

Предположим, что существует другая пара параллельных плоскостей $\alpha_1$ и $\beta_1$, такая, что $a \subset \alpha_1$ и $b \subset \beta_1$.

Рассмотрим плоскость $\alpha_1$. По определению, она содержит прямую $a$. Поскольку $\alpha_1 \parallel \beta_1$ и $b \subset \beta_1$, то из этого следует, что прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha_1$ ($b \parallel \alpha_1$).

Итак, $\alpha_1$ — это плоскость, проходящая через прямую $a$ и параллельная прямой $b$. Докажем, что такая плоскость единственна. Через любую точку прямой $a$ (например, точку $M$ из первой части) можно провести единственную прямую $b'$, параллельную $b$. Любая плоскость, содержащая прямую $a$ и параллельная прямой $b$, обязана содержать и эту прямую $b'$. Так как прямые $a$ и $b'$ пересекаются, они задают единственную плоскость. Эта плоскость в точности совпадает с построенной нами в первой части плоскостью $\alpha$. Следовательно, $\alpha_1 = \alpha$.

Аналогично, плоскость $\beta_1$ содержит прямую $b$ и параллельна прямой $a$. Рассуждая так же, как и для $\alpha_1$, мы приходим к выводу, что такая плоскость единственна и совпадает с построенной нами плоскостью $\beta$. Следовательно, $\beta_1 = \beta$.

Таким образом, мы доказали, что существует только одна пара параллельных плоскостей, удовлетворяющая условию задачи.

Ответ: Утверждение доказано.