Номер 6.28, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.28. Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $A_1BC_1$. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Построение сечения

Пусть искомое сечение определяется плоскостью $\beta$, а заданная плоскость — $\alpha = (A_1BC_1)$. По условию, плоскость $\beta$ проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $\alpha$.

Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Мы будем использовать это свойство для построения сечения.

1. Точка $M$ лежит в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Плоскость $\alpha$ пересекает эту грань по прямой $A_1C_1$. Следовательно, плоскость $\beta$ должна пересекать грань $(A_1B_1C_1D_1)$ по прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной $A_1C_1$. Проведём в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ прямую $MN$ так, что $MN \parallel A_1C_1$, где точка $N$ лежит на ребре $B_1C_1$. Поскольку $M$ — середина ребра $A_1B_1$, то по теореме Фалеса для угла $\angle A_1B_1C_1$, точка $N$ будет серединой ребра $B_1C_1$. Отрезок $MN$ — одна из сторон искомого сечения.

2. Точка $N$ лежит в плоскости правой грани $(BCC_1B_1)$. Плоскость $\alpha$ пересекает эту грань по прямой $BC_1$. Следовательно, плоскость $\beta$ должна пересекать грань $(BCC_1B_1)$ по прямой, проходящей через точку $N$ и параллельной $BC_1$. Проведём в плоскости $(BCC_1B_1)$ прямую $NP$ так, что $NP \parallel BC_1$, где точка $P$ лежит на ребре $BB_1$. Поскольку $N$ — середина ребра $B_1C_1$, то по теореме Фалеса для угла $\angle C_1B_1B$, точка $P$ будет серединой ребра $BB_1$. Отрезок $NP$ — вторая сторона сечения.

3. Точки $M$ и $P$ лежат в плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Соединим их отрезком $MP$. Рассмотрим треугольник $A_1B_1B$. Так как $M$ — середина $A_1B_1$ и $P$ — середина $BB_1$, то $MP$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $MP \parallel A_1B$. Плоскость $\alpha$ пересекает переднюю грань по прямой $A_1B$, поэтому параллельность $MP \parallel A_1B$ соответствует условию $\beta \parallel \alpha$. Отрезок $MP$ — третья сторона сечения.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MNP$, вершины которого являются серединами рёбер $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BB_1$.

Нахождение площади полученного сечения

Найдём длины сторон треугольника $MNP$. Ребро куба равно $a$. Точки $M, N, P$ — середины рёбер, поэтому $MB_1 = B_1N = B_1P = a/2$.

1. Рассмoтрим прямоугольный треугольник $MB_1N$ в плоскости верхней грани. По теореме Пифагора:$MN^2 = MB_1^2 + B_1N^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = 2a^2/4 = a^2/2$.$MN = \sqrt{a^2/2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $NB_1P$ в плоскости правой грани (если мысленно развернуть грань). Он также является прямоугольным с катетами $NB_1$ и $B_1P$. Но $N$ и $P$ лежат на смежных гранях. Для нахождения расстояния в 3D пространстве используем координаты или теорему Пифагора для пространственной фигуры. В прямоугольном треугольнике $NB_1P$, $\angle NB_1P = 90^\circ$:$NP^2 = NB_1^2 + B_1P^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.$NP = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MB_1P$ в плоскости передней грани (аналогично предыдущему пункту):$MP^2 = MB_1^2 + B_1P^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.$MP = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Так как $MN = NP = MP = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, треугольник $MNP$ является равносторонним.Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{c^2\sqrt{3}}{4}$, где $c$ — длина его стороны.Подставим длину стороны $c = \frac{a\sqrt{2}}{2}$:$S_{\triangle MNP} = \frac{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2 \cdot 2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$.