Номер 6.21, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.21. Точка $E$ принадлежит ребру $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте линию пересечения плоскостей $ACC_1$ и $BED$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Задача состоит в построении линии пересечения плоскости диагонального сечения $(ACC_1)$ и плоскости $(BED)$.

1. Нахождение первой общей точки

Плоскость $(ACC_1)$ содержит диагональ нижнего основания $AC$.
Плоскость $(BED)$ содержит диагональ нижнего основания $BD$.
Диагонали основания $ABCD$ (которое является квадратом) пересекаются в его центре. Обозначим эту точку $O$.$O = AC \cap BD$.
Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AC$, она принадлежит плоскости $(ACC_1)$.
Поскольку точка $O$ лежит на прямой $BD$, она принадлежит плоскости $(BED)$.
Следовательно, точка $O$ является первой общей точкой двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки

Для нахождения второй точки воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость верхнего основания куба $(A_1B_1C_1D_1)$.
а) Найдем линию пересечения плоскости $(ACC_1)$ с плоскостью $(A_1B_1C_1D_1)$. Эта линия — диагональ верхнего основания $A_1C_1$.
б) Найдем линию пересечения плоскости $(BED)$ с плоскостью $(A_1B_1C_1D_1)$.
- Точка $E$ по условию принадлежит ребру $B_1C_1$, следовательно, точка $E$ лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. По определению плоскости $(BED)$, точка $E$ также принадлежит и этой плоскости. Значит, $E$ — общая точка для плоскостей $(BED)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$.
- Прямая $BD$ лежит в плоскости $(BED)$. Плоскость нижнего основания $(ABCD)$ параллельна плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$, поэтому прямая $BD$ параллельна плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$.
- Согласно свойству, если плоскость $(BED)$ проходит через прямую $BD$, параллельную плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна прямой $BD$.
- Таким образом, линия пересечения плоскостей $(BED)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$ проходит через их общую точку $E$ параллельно прямой $BD$. В кубе $BD \parallel B_1D_1$, поэтому искомая линия (обозначим её $l$) проходит через $E$ и параллельна $B_1D_1$.
в) Вторая общая точка искомых плоскостей $(ACC_1)$ и $(BED)$ будет являться точкой пересечения прямых $A_1C_1$ и $l$, так как обе эти прямые лежат во вспомогательной плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$, и при этом $A_1C_1 \subset (ACC_1)$, а $l \subset (BED)$. Обозначим эту точку $K$.
$K = A_1C_1 \cap l$.
Следовательно, точка $K$ является второй общей точкой плоскостей $(ACC_1)$ и $(BED)$.

3. Построение искомой линии

Соединив две найденные общие точки $O$ и $K$, получаем прямую $OK$. Эта прямая и является линией пересечения плоскостей $(ACC_1)$ и $(BED)$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая $OK$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ нижнего основания куба, а $K$ — точка пересечения диагонали $A_1C_1$ верхнего основания с прямой, проходящей через точку $E$ в плоскости верхнего основания параллельно диагонали $B_1D_1$.