Номер 6.23, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.23. Точка $E$ принадлежит основанию $ABCD$ пирамиды $MABCD$ (рис. 6.21). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно плоскости $CMD$.

Рис. 6.21

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ и параллельна плоскости $CMD$. Построение сечения будем выполнять пошагово, находя линии пересечения плоскости $\alpha$ с гранями пирамиды.

1. Построение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания ABCD
   Две параллельные плоскости ($\alpha$ и $CMD$) пересекаются третьей плоскостью (плоскостью основания $ABCD$) по параллельным прямым. Плоскость $CMD$ пересекает плоскость $ABCD$ по прямой $CD$. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость основания $ABCD$ по прямой, параллельной $CD$. Так как точка $E$ по условию принадлежит плоскости $\alpha$ и плоскости основания, эта прямая должна проходить через точку $E$.
   Проведем в плоскости $ABCD$ прямую через точку $E$ параллельно прямой $CD$. Пусть эта прямая пересекает стороны основания $AD$ и $BC$ в точках $K$ и $F$ соответственно. Если прямая пересекает продолжения сторон, построение аналогично. Отрезок $KF$ – это линия пересечения секущей плоскости с основанием пирамиды.

2. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью MAD
   Рассмотрим пересечение параллельных плоскостей $\alpha$ и $CMD$ плоскостью грани $MAD$. Линии их пересечения должны быть параллельны. Плоскость $CMD$ пересекается с плоскостью $MAD$ по прямой $MD$. Точка $K$, построенная на предыдущем шаге, принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и грани $MAD$ (поскольку лежит на ребре $AD$).
   Следовательно, проведем через точку $K$ прямую, параллельную ребру $MD$. Эта прямая будет лежать в плоскости грани $MAD$. Пусть она пересечет ребро $MA$ в точке $L$. Отрезок $KL$ – это линия пересечения секущей плоскости с гранью $MAD$.

3. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью MBC
   Аналогично предыдущему шагу, рассмотрим пересечение параллельных плоскостей $\alpha$ и $CMD$ плоскостью грани $MBC$. Линии их пересечения должны быть параллельны. Плоскость $CMD$ пересекается с плоскостью $MBC$ по прямой $MC$. Точка $F$, построенная на первом шаге, принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и грани $MBC$ (поскольку лежит на ребре $BC$).
   Проведем через точку $F$ прямую, параллельную ребру $MC$. Эта прямая лежит в плоскости грани $MBC$. Пусть она пересечет ребро $MB$ в точке $N$. Отрезок $FN$ – это линия пересечения секущей плоскости с гранью $MBC$.

4. Завершение построения
   Точки $L$ и $N$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$. В то же время, они лежат на ребрах $MA$ и $MB$ соответственно, а значит, принадлежат плоскости грани $MAB$. Соединив точки $L$ и $N$, мы получим отрезок $LN$ – линию пересечения секущей плоскости с гранью $MAB$.
   В результате последовательного построения мы получили четырехугольник $KFNL$. Этот четырехугольник и является искомым сечением пирамиды.

Краткий алгоритм построения:

1. В плоскости $ABCD$ через точку $E$ провести прямую, параллельную $CD$. Найти точки ее пересечения со сторонами основания: $K = (E \in l, l \parallel CD) \cap AD$ и $F = l \cap BC$.
2. В плоскости $MAD$ через точку $K$ провести прямую, параллельную $MD$. Найти точку ее пересечения с ребром $MA$: $L = (K \in m, m \parallel MD) \cap MA$.
3. В плоскости $MBC$ через точку $F$ провести прямую, параллельную $MC$. Найти точку ее пересечения с ребром $MB$: $N = (F \in n, n \parallel MC) \cap MB$.
4. Соединить точки $L$ и $N$.

Искомое сечение – четырехугольник $KFNL$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $KFNL$, построенный согласно описанному выше алгоритму.