Номер 6.17, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.17. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 6.17). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $A_1BC$. Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 6.17

Построение сечения

Пусть искомое сечение определяется плоскостью $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$, которая является серединой ребра $CC_1$, и параллельна плоскости $(A_1BC)$.

Для построения сечения воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. В качестве третьих плоскостей будем рассматривать плоскости граней куба.

1. Начнем построение с грани $BCC_1B_1$, так как она содержит точку $M$. Плоскость этой грани пересекает плоскость $(A_1BC)$ по прямой $BC$. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой, проходящей через $M$ и параллельной $BC$. Проведем эту прямую и обозначим точку ее пересечения с ребром $BB_1$ как $K$. Так как $M$ — середина $CC_1$ и $MK \parallel BC$, то по теореме Фалеса точка $K$ является серединой ребра $BB_1$. Отрезок $MK$ — первая сторона сечения.

2. Теперь рассмотрим грань $ABB_1A_1$, содержащую точку $K$. Плоскость этой грани пересекает плоскость $(A_1BC)$ по прямой $A_1B$. Значит, плоскость $\alpha$ пересекает грань $ABB_1A_1$ по прямой, проходящей через точку $K$ (середину $BB_1$) и параллельной диагонали $A_1B$. Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $P$. Из подобия треугольников в плоскости грани $ABB_1A_1$ следует, что $P$ — середина ребра $A_1B_1$. Отрезок $KP$ — вторая сторона сечения.

3. Рассмотрим верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$, содержащую точку $P$. Линии пересечения секущей плоскости с параллельными гранями куба должны быть параллельны. Так как грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна грани $ABCD$, а секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой $MK$, параллельной $BC$ (линии пересечения $(A_1BC)$ и $ABCD$), то линия пересечения $\alpha$ с верхней гранью должна быть также параллельна $BC$ (или $B_1C_1$). Проводим через точку $P$ (середину $A_1B_1$) прямую, параллельную $B_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $D_1C_1$ в его середине. Обозначим эту точку $Q$. Отрезок $PQ$ — третья сторона сечения.

4. Точки $Q$ (середина $D_1C_1$) и $M$ (середина $CC_1$) лежат в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Соединив их, получим отрезок $QM$, который является четвертой стороной сечения. Построение завершено.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $MKPQ$.

Ответ: Сечением является четырехугольник $MKPQ$, вершины которого $M, K, P, Q$ являются серединами ребер $CC_1, BB_1, A_1B_1, D_1C_1$ соответственно.

Нахождение периметра полученного сечения

Для вычисления периметра четырехугольника $MKPQ$ найдем длины его сторон. Пусть ребро куба равно $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$ (ось Ox), $DC$ (ось Oy) и $DD_1$ (ось Oz). В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты: $D(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $B(a,a,0)$, $D_1(0,0,a)$, $A_1(a,0,a)$, $C_1(0,a,a)$, $B_1(a,a,a)$.

Найдем координаты вершин сечения:
$M$ (середина $CC_1$): $M = (\frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}) = (0, a, \frac{a}{2})$
$K$ (середина $BB_1$): $K = (\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}) = (a, a, \frac{a}{2})$
$P$ (середина $A_1B_1$): $P = (\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}) = (a, \frac{a}{2}, a)$
$Q$ (середина $D_1C_1$): $Q = (\frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}) = (0, \frac{a}{2}, a)$

Теперь, используя формулу расстояния между точками в пространстве $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$, вычислим длины сторон:
$MK = \sqrt{(a-0)^2 + (a-a)^2 + (\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2} = a$
$KP = \sqrt{(a-a)^2 + (\frac{a}{2}-a)^2 + (a-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{0 + (-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
$PQ = \sqrt{(0-a)^2 + (\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2 + (a-a)^2} = \sqrt{(-a)^2} = a$
$QM = \sqrt{(0-0)^2 + (a-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2}-a)^2} = \sqrt{0 + (\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Периметр сечения $P_{MKPQ}$ равен сумме длин его сторон:
$P_{MKPQ} = MK + KP + PQ + QM = a + \frac{a\sqrt{2}}{2} + a + \frac{a\sqrt{2}}{2} = 2a + a\sqrt{2} = a(2+\sqrt{2})$

Ответ: $a(2 + \sqrt{2})$