Номер 6.13, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.13. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, точки $C$ и $D$ — в плоскости $\beta$. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1) Докажите, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$.

2) Найдите отрезок $AB$, если $CD = 32$ см, $AC : AO = 7 : 3$.

1) Докажите, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$

Рассмотрим плоскость, которая проходит через пересекающиеся прямые $AC$ и $BD$. Обозначим эту плоскость $\gamma$.
Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, то прямая $AB$ также лежит в плоскости $\alpha$.
Поскольку точки $C$ и $D$ лежат в плоскости $\beta$, то прямая $CD$ также лежит в плоскости $\beta$.
Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $AB$ и плоскость $\beta$ по прямой $CD$.
По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости ($\alpha$ и $\beta$) пересекаются третьей плоскостью ($\gamma$), то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $AB \parallel CD$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.
1. $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы.
2. $\angle OAB = \angle OCD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
Следовательно, $\triangle AOB \sim \triangle COD$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} $$ Таким образом, равенство $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$ доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок AB, если $CD = 32$ см, $AC : AO = 7 : 3$

Из первого пункта мы знаем, что $\triangle AOB \sim \triangle COD$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон: $$ k = \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD} $$ Найдем отношение $\frac{AO}{OC}$ из условия $AC : AO = 7 : 3$.
Пусть $AO = 3x$, тогда $AC = 7x$.
Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $AC = AO + OC$.
Найдем $OC$:
$OC = AC - AO = 7x - 3x = 4x$.
Теперь найдем отношение $\frac{AO}{OC}$: $$ \frac{AO}{OC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4} $$ Значит, коэффициент подобия $k = \frac{3}{4}$.
Теперь используем отношение для сторон $AB$ и $CD$: $$ \frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC} = \frac{3}{4} $$ Подставим известное значение $CD = 32$ см: $$ \frac{AB}{32} = \frac{3}{4} $$ Выразим $AB$: $$ AB = 32 \cdot \frac{3}{4} = 8 \cdot 3 = 24 \text{ см} $$ Ответ: 24 см.