Страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.8. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. В плоскости $\alpha$ выбраны точки $C$ и $D$, а в плоскости $\beta$ — точки $C_1$ и $D_1$ такие, что прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны. Найдите отрезки $DD_1$ и $C_1D_1$, если $CD = 12$ см, $CC_1 = 4$ см.

Для решения задачи рассмотрим четырехугольник $CDD_1C_1$, образованный заданными точками.

1. По условию, прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Следовательно, все четыре точки $C$, $D$, $C_1$ и $D_1$ лежат в одной плоскости.

2. Также по условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость, в которой лежит четырехугольник $CDD_1C_1$, пересекает эти параллельные плоскости по прямым $CD$ и $C_1D_1$. Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Отсюда следует, что $CD \parallel C_1D_1$.

3. В четырехугольнике $CDD_1C_1$ противоположные стороны попарно параллельны:

• $CC_1 \parallel DD_1$ (по условию)
• $CD \parallel C_1D_1$ (как доказано выше)

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $CDD_1C_1$ — параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны. Используем это свойство для нахождения длин искомых отрезков.

Найти отрезок $DD_1$
Сторона $DD_1$ в параллелограмме $CDD_1C_1$ является противоположной стороне $CC_1$. Следовательно, их длины равны:
$DD_1 = CC_1$
Из условия задачи известно, что $CC_1 = 4$ см.
Таким образом, $DD_1 = 4$ см.
Ответ: $DD_1 = 4$ см.

Найти отрезок $C_1D_1$
Сторона $C_1D_1$ в параллелограмме $CDD_1C_1$ является противоположной стороне $CD$. Следовательно, их длины равны:
$C_1D_1 = CD$
Из условия задачи известно, что $CD = 12$ см.
Таким образом, $C_1D_1 = 12$ см.
Ответ: $C_1D_1 = 12$ см.

6.9. Треугольник $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Через его вершины проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$, в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ необходимо показать, что их соответствующие стороны равны, то есть $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$. После этого можно будет применить признак равенства треугольников по трем сторонам.

1. Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. По условию, прямые, проходящие через вершины треугольников, параллельны, следовательно $AA_1 \parallel BB_1$. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость, поэтому точки $A, B, B_1, A_1$ лежат в одной плоскости. Прямая $AB$ является линией пересечения этой плоскости с плоскостью $\alpha$, а прямая $A_1B_1$ — линией пересечения с плоскостью $\beta$. Поскольку по условию плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), то и линии их пересечения с третьей плоскостью также параллельны, то есть $AB \parallel A_1B_1$. В четырехугольнике $ABB_1A_1$ противоположные стороны попарно параллельны ($AA_1 \parallel BB_1$ и $AB \parallel A_1B_1$), следовательно, $ABB_1A_1$ — это параллелограмм. По свойству параллелограмма его противоположные стороны равны, значит $AB = A_1B_1$.

2. Аналогично рассмотрим четырехугольник $BCC_1B_1$. По условию $BB_1 \parallel CC_1$, значит точки $B, C, C_1, B_1$ лежат в одной плоскости. Прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $B_1C_1$ — в плоскости $\beta$. Так как $\alpha \parallel \beta$, то $BC \parallel B_1C_1$. В четырехугольнике $BCC_1B_1$ противоположные стороны попарно параллельны ($BB_1 \parallel CC_1$ и $BC \parallel B_1C_1$), значит, он является параллелограммом. Отсюда следует, что $BC = B_1C_1$.

3. Таким же образом рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. По условию $AA_1 \parallel CC_1$, следовательно, точки $A, C, C_1, A_1$ лежат в одной плоскости. Прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $A_1C_1$ — в плоскости $\beta$. Так как $\alpha \parallel \beta$, то $AC \parallel A_1C_1$. В четырехугольнике $ACC_1A_1$ противоположные стороны попарно параллельны ($AA_1 \parallel CC_1$ и $AC \parallel A_1C_1$), следовательно, он является параллелограммом. Отсюда $AC = A_1C_1$.

Таким образом, мы доказали, что соответствующие стороны треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны:

$AB = A_1B_1$

$BC = B_1C_1$

$AC = A_1C_1$

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

6.10. Даны параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Отрезок $AB$ и точка $C$ лежат в плоскости $\alpha$, точка $D$ — в плоскости $\beta$ (рис. 6.14). Постройте линию пересечения:

1) плоскости $\beta$ и плоскости $ABD$;

2) плоскости $\beta$ и плоскости $BCD$.

Рис. 6.14

1) Для построения линии пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $ABD$ воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Дано, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Плоскость $ABD$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $AB$, так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$.

Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости $ABD$ с плоскостью $\beta$ будет параллельна прямой $AB$.

Точка $D$ принадлежит плоскости $ABD$ по построению и плоскости $\beta$ по условию задачи. Это означает, что точка $D$ является общей точкой для плоскости $ABD$ и плоскости $\beta$, и, следовательно, лежит на их линии пересечения.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, которая проходит через точку $D$ и параллельна прямой $AB$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $AB$.

2) Для построения линии пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $BCD$ применим тот же подход.

Плоскость $BCD$ пересекает плоскость $\alpha$. Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$ (так как отрезок $AB$ и точка $C$ лежат в $\alpha$). Одновременно точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $BCD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $BCD$ и плоскости $\alpha$ — это прямая $BC$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то линия пересечения плоскости $BCD$ с плоскостью $\beta$ будет параллельна линии ее пересечения с плоскостью $\alpha$, то есть прямой $BC$.

Точка $D$ принадлежит плоскости $BCD$ по построению и плоскости $\beta$ по условию. Значит, точка $D$ лежит на линии пересечения плоскостей $BCD$ и $\beta$.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, которая проходит через точку $D$ и параллельна прямой $BC$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $BC$.

6.11. Даны параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $. Точки M и N лежат в плоскости $ \alpha $, точки K и P — в плоскости $ \beta $ (рис. 6.15). Постройте линию пересечения:

1) плоскости $ \alpha $ и плоскости MKP;

2) плоскости $ \beta $ и плоскости MNK.

Рис. 6.15

1) плоскости α и плоскости MKP;
По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $MKP$ пересекает обе эти плоскости.

Найдем линию пересечения плоскости $MKP$ с плоскостью $\beta$. Точки $K$ и $P$ по условию лежат в плоскости $\beta$. По определению плоскости $MKP$, точки $K$ и $P$ также лежат в ней. Следовательно, прямая $KP$ является линией пересечения плоскостей $MKP$ и $\beta$.

Согласно свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. В нашем случае плоскость $MKP$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по параллельным прямым.

Значит, линия пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\alpha$ должна быть параллельна прямой $KP$.

Точка $M$ по условию лежит в плоскости $\alpha$ и по построению в плоскости $MKP$. Следовательно, точка $M$ принадлежит искомой линии пересечения.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $KP$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $KP$.

2) плоскости β и плоскости MNK.
По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $MNK$ пересекает обе эти плоскости.

Найдем линию пересечения плоскости $MNK$ с плоскостью $\alpha$. Точки $M$ и $N$ по условию лежат в плоскости $\alpha$. По определению плоскости $MNK$, точки $M$ и $N$ также лежат в ней. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения плоскостей $MNK$ и $\alpha$.

Используя то же свойство параллельных плоскостей, линия пересечения плоскости $MNK$ с плоскостью $\beta$ должна быть параллельна прямой $MN$.

Точка $K$ по условию лежит в плоскости $\beta$ и по построению в плоскости $MNK$. Следовательно, точка $K$ принадлежит искомой линии пересечения.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $MN$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $MN$.

6.12. Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают сторону $BA$ угла $ABC$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно, а сторону $BC$ — в точках $C_1$ и $C_2$ соответственно. Найдите:

1) отрезок $A_1 C_1$, если $A_2 C_2 = 36$ см, $BA_1 : BA_2 = 5 : 9$;

2) отрезок $C_1 C_2$, если $A_1 C_1 = 14$ см, $A_2 C_2 = 21$ см, $BC_1 = 12$ см.

Поскольку параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают стороны угла $ABC$, то по обобщенной теореме Фалеса, прямые $A_1C_1$ и $A_2C_2$, по которым плоскость угла $ABC$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$, параллельны ($A_1C_1 \parallel A_2C_2$).

Рассмотрим треугольники $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle BA_2C_2$. У них:

• $\angle B$ — общий.
• $\angle BA_1C_1 = \angle BA_2C_2$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1C_1$ и $A_2C_2$ и секущей $BA$.

Следовательно, треугольники $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle BA_2C_2$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{BA_1}{BA_2} = \frac{BC_1}{BC_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $

1) найти отрезок $A_1C_1$, если $A_2C_2 = 36$ см, $BA_1 : BA_2 = 5 : 9$

Используем соотношение из подобия треугольников: $ \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{BA_1}{BA_2} $

Подставим известные значения: $ \frac{A_1C_1}{36} = \frac{5}{9} $

Отсюда выразим и вычислим $A_1C_1$: $ A_1C_1 = 36 \cdot \frac{5}{9} = 4 \cdot 5 = 20 $ см.

Ответ: 20 см.

2) найти отрезок $C_1C_2$, если $A_1C_1 = 14$ см, $A_2C_2 = 21$ см, $BC_1 = 12$ см

Используем соотношение из подобия треугольников, чтобы найти $BC_2$: $ \frac{BC_1}{BC_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $

Подставим известные значения: $ \frac{12}{BC_2} = \frac{14}{21} $

Упростим дробь в правой части: $ \frac{14}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{2}{3} $.

Получаем пропорцию: $ \frac{12}{BC_2} = \frac{2}{3} $

Отсюда выразим и вычислим $BC_2$: $ BC_2 = \frac{12 \cdot 3}{2} = 6 \cdot 3 = 18 $ см.

Искомый отрезок $C_1C_2$ — это разность длин отрезков $BC_2$ и $BC_1$: $ C_1C_2 = BC_2 - BC_1 = 18 - 12 = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

6.13. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, точки $C$ и $D$ — в плоскости $\beta$. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1) Докажите, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$.

2) Найдите отрезок $AB$, если $CD = 32$ см, $AC : AO = 7 : 3$.

1) Докажите, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$

Рассмотрим плоскость, которая проходит через пересекающиеся прямые $AC$ и $BD$. Обозначим эту плоскость $\gamma$.
Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, то прямая $AB$ также лежит в плоскости $\alpha$.
Поскольку точки $C$ и $D$ лежат в плоскости $\beta$, то прямая $CD$ также лежит в плоскости $\beta$.
Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $AB$ и плоскость $\beta$ по прямой $CD$.
По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости ($\alpha$ и $\beta$) пересекаются третьей плоскостью ($\gamma$), то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $AB \parallel CD$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.
1. $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы.
2. $\angle OAB = \angle OCD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
Следовательно, $\triangle AOB \sim \triangle COD$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} $$ Таким образом, равенство $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$ доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок AB, если $CD = 32$ см, $AC : AO = 7 : 3$

Из первого пункта мы знаем, что $\triangle AOB \sim \triangle COD$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон: $$ k = \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD} $$ Найдем отношение $\frac{AO}{OC}$ из условия $AC : AO = 7 : 3$.
Пусть $AO = 3x$, тогда $AC = 7x$.
Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $AC = AO + OC$.
Найдем $OC$:
$OC = AC - AO = 7x - 3x = 4x$.
Теперь найдем отношение $\frac{AO}{OC}$: $$ \frac{AO}{OC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4} $$ Значит, коэффициент подобия $k = \frac{3}{4}$.
Теперь используем отношение для сторон $AB$ и $CD$: $$ \frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC} = \frac{3}{4} $$ Подставим известное значение $CD = 32$ см: $$ \frac{AB}{32} = \frac{3}{4} $$ Выразим $AB$: $$ AB = 32 \cdot \frac{3}{4} = 8 \cdot 3 = 24 \text{ см} $$ Ответ: 24 см.

6.14. Отрезки $AB$, $CD$ и $EF$, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в точке $O$, являющейся серединой каждого из этих отрезков. Докажите, что плоскости $ACE$ и $BDF$ параллельны.

По условию задачи отрезки $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них. Это означает, что $AO = OB$, $CO = OD$ и $EO = OF$.

1. Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. По признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ACBD$ — параллелограмм. Из этого следует, что его противолежащие стороны параллельны, в частности $AC \parallel BD$.

2. Аналогично рассмотрим четырехугольник $AEBF$. Его диагонали $AB$ и $EF$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Следовательно, $AEBF$ также является параллелограммом. Отсюда следует, что его противолежащие стороны параллельны: $AE \parallel BF$.

3. Мы получили, что две пересекающиеся прямые $AC$ и $AE$ плоскости $(ACE)$ (они пересекаются в точке $A$) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $BD$ и $BF$ плоскости $(BDF)$ (они пересекаются в точке $B$).

4. Согласно признаку параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Таким образом, так как прямые $AC$ и $AE$ лежат в плоскости $(ACE)$, а прямые $BD$ и $BF$ лежат в плоскости $(BDF)$, причем $AC \parallel BD$ и $AE \parallel BF$, то плоскости $(ACE)$ и $(BDF)$ параллельны.

Ответ: Доказано, что плоскости $ACE$ и $BDF$ параллельны.