Номер 6.8, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.8. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. В плоскости $\alpha$ выбраны точки $C$ и $D$, а в плоскости $\beta$ — точки $C_1$ и $D_1$ такие, что прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны. Найдите отрезки $DD_1$ и $C_1D_1$, если $CD = 12$ см, $CC_1 = 4$ см.

Для решения задачи рассмотрим четырехугольник $CDD_1C_1$, образованный заданными точками.

1. По условию, прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Следовательно, все четыре точки $C$, $D$, $C_1$ и $D_1$ лежат в одной плоскости.

2. Также по условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость, в которой лежит четырехугольник $CDD_1C_1$, пересекает эти параллельные плоскости по прямым $CD$ и $C_1D_1$. Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Отсюда следует, что $CD \parallel C_1D_1$.

3. В четырехугольнике $CDD_1C_1$ противоположные стороны попарно параллельны:

• $CC_1 \parallel DD_1$ (по условию)
• $CD \parallel C_1D_1$ (как доказано выше)

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $CDD_1C_1$ — параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны. Используем это свойство для нахождения длин искомых отрезков.

Найти отрезок $DD_1$
Сторона $DD_1$ в параллелограмме $CDD_1C_1$ является противоположной стороне $CC_1$. Следовательно, их длины равны:
$DD_1 = CC_1$
Из условия задачи известно, что $CC_1 = 4$ см.
Таким образом, $DD_1 = 4$ см.
Ответ: $DD_1 = 4$ см.

Найти отрезок $C_1D_1$
Сторона $C_1D_1$ в параллелограмме $CDD_1C_1$ является противоположной стороне $CD$. Следовательно, их длины равны:
$C_1D_1 = CD$
Из условия задачи известно, что $CD = 12$ см.
Таким образом, $C_1D_1 = 12$ см.
Ответ: $C_1D_1 = 12$ см.