Номер 6.5, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.5. Две диагонали правильного шестиугольника параллельны плоскости $\alpha$. Можно ли утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости $\alpha$?

Нет, такое утверждение сделать нельзя. Ответ зависит от того, являются ли выбранные диагонали пересекающимися или параллельными.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, для того чтобы плоскость шестиугольника, назовем ее $ \beta $, была параллельна плоскости $ \alpha $, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости $ \beta $, были параллельны плоскости $ \alpha $.

Рассмотрим два возможных случая для диагоналей правильного шестиугольника.

Случай 1: Выбранные диагонали пересекаются.
Пусть $d_1$ и $d_2$ — две пересекающиеся диагонали правильного шестиугольника. Они лежат в одной плоскости $ \beta $. По условию задачи, обе эти диагонали параллельны плоскости $ \alpha $. Так как $d_1$ и $d_2$ являются двумя пересекающимися прямыми в плоскости $ \beta $, и обе они параллельны плоскости $ \alpha $, то по признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $ \beta $ будет параллельна плоскости $ \alpha $. В этом случае утверждение верно.

Случай 2: Выбранные диагонали параллельны.
В правильном шестиугольнике существуют пары параллельных диагоналей (например, в шестиугольнике ABCDEF диагонали AC и FD параллельны). Если по условию выбраны именно такие две параллельные диагонали, то признак параллельности плоскостей, требующий наличия двух пересекающихся прямых, не выполняется. Это позволяет построить контрпример.
Представим, что плоскость шестиугольника $ \beta $ не параллельна плоскости $ \alpha $, а пересекает ее по некоторой прямой $l$. В плоскости $ \beta $ можно провести две различные прямые, параллельные прямой $l$. Эти прямые будут параллельны друг другу, а также параллельны плоскости $ \alpha $ (так как они параллельны прямой $l$, которая целиком лежит в плоскости $ \alpha $). Теперь можно расположить правильный шестиугольник в плоскости $ \beta $ таким образом, чтобы две его параллельные диагонали лежали на этих построенных прямых. В результате мы получим ситуацию, когда две диагонали шестиугольника параллельны плоскости $ \alpha $, но сама плоскость шестиугольника $ \beta $ не параллельна плоскости $ \alpha $.

Поскольку утверждение должно быть верным для любой пары диагоналей, а мы нашли случай (когда диагонали параллельны), в котором оно не выполняется, то в общем виде данное утверждение неверно.

Ответ: Нет, утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости $ \alpha $, нельзя.