Номер 6.7, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.7. Верно ли утверждение:

1) если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью параллельны, то данные плоскости параллельны;

2) если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то данные плоскости параллельны?

1) Утверждение неверно.

Приведём контрпример, доказывающий ложность этого утверждения. Пусть две плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются по некоторой прямой $c$. Теперь выберем третью плоскость $\gamma$ так, чтобы она была параллельна прямой $c$ (но не содержала её). В этом случае плоскость $\gamma$ будет пересекать и плоскость $\alpha$, и плоскость $\beta$.

Пусть прямая $a$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$ (то есть $a = \alpha \cap \gamma$), а прямая $b$ — линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$ (то есть $b = \beta \cap \gamma$).

Прямые $a$ и $b$ обе лежат в плоскости $\gamma$. Это значит, что они могут либо пересекаться, либо быть параллельными.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$, она принадлежит плоскости $\alpha$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $b$, она принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $M$ принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$, а значит, должна лежать на их общей линии пересечения — прямой $c$.

Однако точка $M$ также лежит и в плоскости $\gamma$. Получается, что прямая $c$ и плоскость $\gamma$ имеют общую точку $M$. Это противоречит нашему первоначальному условию, по которому плоскость $\gamma$ была выбрана параллельно прямой $c$.

Из этого противоречия следует, что наше предположение о пересечении прямых $a$ и $b$ неверно. Так как прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\gamma$ и не пересекаются, они должны быть параллельны ($a \parallel b$).

Таким образом, мы построили ситуацию, когда прямые пересечения ($a$ и $b$) двух плоскостей ($\alpha$ и $\beta$) третьей плоскостью ($\gamma$) параллельны, но сами исходные плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются. Это доказывает, что утверждение является ложным.

Ответ: нет, утверждение неверно.

2) Утверждение верно.

Докажем это утверждение. Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Выберем две произвольные различные параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, которые пересекают обе плоскости.

Обозначим точки их пересечения с плоскостями: $A_1 = l_1 \cap \alpha$, $B_1 = l_1 \cap \beta$ и $A_2 = l_2 \cap \alpha$, $B_2 = l_2 \cap \beta$.

По условию задачи, длины отрезков этих параллельных прямых, заключённых между плоскостями, равны: $|A_1B_1| = |A_2B_2|$.

Рассмотрим четырёхугольник $A_1A_2B_2B_1$. Его противоположные стороны $A_1B_1$ и $A_2B_2$ лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l_2$, следовательно, эти стороны параллельны. Так как, по условию, они ещё и равны по длине, то четырёхугольник $A_1A_2B_2B_1$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма: если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм).

Из свойства параллелограмма следует, что другие его противоположные стороны также параллельны, то есть $A_1A_2 \parallel B_1B_2$. Прямая $A_1A_2$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $B_1B_2$ лежит в плоскости $\beta$.

Теперь выберем третью прямую $l_3$, параллельную $l_1$ и $l_2$, но не лежащую в одной плоскости с ними. Пусть $A_3 = l_3 \cap \alpha$ и $B_3 = l_3 \cap \beta$. В этом случае точки $A_1$, $A_2$ и $A_3$ не будут лежать на одной прямой.

Проведя аналогичные рассуждения для пары прямых $l_1$ и $l_3$, мы получим, что $A_1A_3 \parallel B_1B_3$.

В результате мы имеем две пересекающиеся в точке $A_1$ прямые ($A_1A_2$ и $A_1A_3$) в плоскости $\alpha$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся в точке $B_1$ прямым ($B_1B_2$ и $B_1B_3$) в плоскости $\beta$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.

Ответ: да, утверждение верно.