Номер 6.12, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.12. Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают сторону $BA$ угла $ABC$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно, а сторону $BC$ — в точках $C_1$ и $C_2$ соответственно. Найдите:

1) отрезок $A_1 C_1$, если $A_2 C_2 = 36$ см, $BA_1 : BA_2 = 5 : 9$;

2) отрезок $C_1 C_2$, если $A_1 C_1 = 14$ см, $A_2 C_2 = 21$ см, $BC_1 = 12$ см.

Поскольку параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают стороны угла $ABC$, то по обобщенной теореме Фалеса, прямые $A_1C_1$ и $A_2C_2$, по которым плоскость угла $ABC$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$, параллельны ($A_1C_1 \parallel A_2C_2$).

Рассмотрим треугольники $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle BA_2C_2$. У них:

• $\angle B$ — общий.
• $\angle BA_1C_1 = \angle BA_2C_2$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1C_1$ и $A_2C_2$ и секущей $BA$.

Следовательно, треугольники $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle BA_2C_2$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{BA_1}{BA_2} = \frac{BC_1}{BC_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $

1) найти отрезок $A_1C_1$, если $A_2C_2 = 36$ см, $BA_1 : BA_2 = 5 : 9$

Используем соотношение из подобия треугольников: $ \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{BA_1}{BA_2} $

Подставим известные значения: $ \frac{A_1C_1}{36} = \frac{5}{9} $

Отсюда выразим и вычислим $A_1C_1$: $ A_1C_1 = 36 \cdot \frac{5}{9} = 4 \cdot 5 = 20 $ см.

Ответ: 20 см.

2) найти отрезок $C_1C_2$, если $A_1C_1 = 14$ см, $A_2C_2 = 21$ см, $BC_1 = 12$ см

Используем соотношение из подобия треугольников, чтобы найти $BC_2$: $ \frac{BC_1}{BC_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $

Подставим известные значения: $ \frac{12}{BC_2} = \frac{14}{21} $

Упростим дробь в правой части: $ \frac{14}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{2}{3} $.

Получаем пропорцию: $ \frac{12}{BC_2} = \frac{2}{3} $

Отсюда выразим и вычислим $BC_2$: $ BC_2 = \frac{12 \cdot 3}{2} = 6 \cdot 3 = 18 $ см.

Искомый отрезок $C_1C_2$ — это разность длин отрезков $BC_2$ и $BC_1$: $ C_1C_2 = BC_2 - BC_1 = 18 - 12 = 6 $ см.

Ответ: 6 см.