Номер 6.19, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.19. На рёбрах $AB$ и $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на продолжении ребра $B_1C_1$ за точку $C_1$ — точку $K$ (рис. 6.19). Постройте сечение куба плоскостью $EFK$.

Рис. 6.19

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $F$ и $K$, воспользуемся методом следов. Построение будем выполнять пошагово, находя линии пересечения (следы) секущей плоскости с гранями куба.

Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости верхней грани куба (точка $F$ по условию лежит на ребре $A_1D_1$, а точка $K$ — на продолжении ребра $B_1C_1$, которое также лежит в этой плоскости). Следовательно, прямая $FK$ является следом секущей плоскости на плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Эта прямая пересекает ребро $C_1D_1$ в некоторой точке $M$. Так как точки $F$ и $M$ лежат на ребрах верхней грани, отрезок $FM$ является одной из сторон искомого сечения.

В плоскости передней грани лежит точка $E$. Чтобы построить след, нам нужна еще одна точка. Найдем точку пересечения прямой $FK$ (которая лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$) с плоскостью передней грани $ABB_1A_1$. Эти две плоскости пересекаются по прямой $A_1B_1$. Значит, точка пересечения прямой $FK$ и плоскости $ABB_1A_1$ — это точка пересечения прямых $FK$ и $A_1B_1$. Обозначим эту вспомогательную точку как $L$.

Теперь в плоскости передней грани $ABB_1A_1$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: $E$ и $L$. Проводим через них прямую $EL$. Эта прямая пересекает ребро $A_1A$ в точке, которую мы обозначим $P$. Отрезок $EP$ является второй стороной сечения.

Мы получили точку $P$ на ребре $A_1A$. Точка $F$ по условию лежит на ребре $A_1D_1$. Обе эти точки, $P$ и $F$, принадлежат плоскости левой грани $ADD_1A_1$. Соединив их, получаем отрезок $PF$ — третью сторону сечения.

Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Мы уже знаем, что линия пересечения с верхней гранью — это прямая $FM$. Следовательно, линия пересечения с нижней гранью будет прямой, проходящей через точку $E$ (лежащую в нижней грани) и параллельной прямой $FM$.

Проведем через $E$ прямую, параллельную $FM$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке $G$. Отрезок $EG$ является четвертой стороной сечения.

На данный момент у нас есть вершины сечения: $E$ на $AB$, $P$ на $A_1A$, $F$ на $A_1D_1$, $M$ на $C_1D_1$ и $G$ на $CD$. Чтобы замкнуть многоугольник сечения, нужно соединить точки $M$ и $G$. Обе эти точки лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$ ($M \in C_1D_1$, $G \in CD$). Соединяем их и получаем отрезок $MG$ — пятую, заключительную сторону сечения.

В результате мы построили пятиугольник $EPFMG$. Это и есть искомое сечение куба плоскостью $EFK$.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $EPFMG$, вершины которого лежат на ребрах куба: $E \in AB$, $P \in A_1A$, $F \in A_1D_1$, $M \in C_1D_1$, $G \in CD$. Пошаговое построение пятиугольника описано выше.