Номер 6.18, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.18. На рёбрах $AA_1$ и $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $K$, а на продолжении ребра $BB_1$ за точку $B_1$ — точку $N$ (рис. 6.18). Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Рис. 6.18

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, воспользуемся методом следов и свойством параллельности граней куба. Построение будем выполнять пошагово.

1. Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости одной грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $MK$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и является одной из сторон искомого сечения. Соединим точки $M$ и $K$.
2. Построим след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости нижнего основания $(ABC)$. След — это прямая, по которой плоскость $(MNK)$ пересекает плоскость $(ABC)$. Точка $K$ принадлежит обеим плоскостям, значит, она лежит на следе. Для построения прямой нам нужна еще одна точка.
3. Найдем вторую точку следа. Прямая $MN$ лежит в секущей плоскости $(MNK)$. Найдем точку ее пересечения с плоскостью основания $(ABC)$. Прямые $MN$ и $AB$ лежат в одной плоскости грани $ABB_1A_1$. Так как точка $N$ находится на продолжении ребра $BB_1$, а точка $M$ — на ребре $AA_1$, эти прямые не параллельны и пересекаются. Продлим отрезки $MN$ и $AB$ до их пересечения в точке $P$. Точка $P$ принадлежит прямой $MN$ (а значит, и плоскости $(MNK)$) и прямой $AB$ (а значит, и плоскости $(ABC)$). Таким образом, точка $P$ — вторая точка следа.
4. Проведем прямую через точки $P$ и $K$. Прямая $PK$ — это и есть след секущей плоскости на плоскости нижнего основания. Эта прямая пересекает ребра куба, лежащие в плоскости основания. Точка $K$ уже лежит на ребре $AD$. Найдем точку пересечения прямой $PK$ с ребром $CD$. Обозначим эту точку $L$. Отрезок $KL$ — это сторона сечения, лежащая на грани $ABCD$.
5. Теперь построим сторону сечения, лежащую на грани $ABB_1A_1$. Точка $M$ принадлежит этой грани. Построенная нами точка $P$ также лежит в плоскости этой грани (на прямой $AB$). Следовательно, прямая $MP$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $ABB_1A_1$. Эта прямая пересекает ребро $BB_1$ в некоторой точке. Обозначим ее $Q$. Отрезок $MQ$ — сторона сечения на грани $ABB_1A_1$.
6. Воспользуемся свойством параллельности: линии пересечения секущей плоскости с параллельными гранями куба параллельны. Грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллельны. Мы уже построили линию пересечения с гранью $ABB_1A_1$ — это отрезок $MQ$. Значит, линия пересечения с гранью $DCC_1D_1$ должна быть параллельна $MQ$. Мы уже имеем одну точку на этой грани — точку $L$. Проведем через точку $L$ прямую, параллельную $MQ$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке $S$. Отрезок $LS$ — сторона сечения на грани $DCC_1D_1$.
7. Мы получили точки $Q$ на ребре $BB_1$ и $S$ на ребре $CC_1$. Обе эти точки лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $QS$. Этот отрезок является последней стороной нашего сечения.

В результате последовательного выполнения шагов мы получили замкнутый многоугольник $MKLQS$. Этот пятиугольник и является искомым сечением куба плоскостью $MNK$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $MKLQS$, вершины которого лежат на ребрах куба: $M \in AA_1$, $K \in AD$, $L \in CD$, $S \in CC_1$, $Q \in BB_1$.