gdz.top
Номер 6.15, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Параллельность в пространстве. Параграф 6. Параллельность плоскостей - номер 6.15, страница 67.
№6.14
№6.15 (с. 67)
Условие. №6.15 (с. 67)
6.15. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что плоскости $ACB_1$ и $A_1C_1D$ параллельны.
Решение. №6.15 (с. 67)
Решение 2. №6.15 (с. 67)
Для доказательства параллельности плоскостей $ACB_1$ и $A_1C_1D$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Рассмотрим плоскость $ACB_1$. Выберем в ней две прямые, пересекающиеся в точке $A$: $AC$ и $AB_1$.
Рассмотрим плоскость $A_1C_1D$. В ней лежат прямые $A_1C_1$ и $DC_1$.
Докажем, что $AC \parallel A_1C_1$. Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его боковые ребра $AA_1$ и $CC_1$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противолежащие стороны параллельны и равны), $ACC_1A_1$ является параллелограммом. Следовательно, другие его противолежащие стороны также параллельны, то есть $AC \parallel A_1C_1$.
Теперь докажем, что $AB_1 \parallel DC_1$. Рассмотрим четырехугольник $AB_1C_1D$. В кубе ребро $AD$ параллельно и равно ребру $B_1C_1$ (поскольку $AD \parallel BC \parallel B_1C_1$ и $AD = BC = B_1C_1$). Так как в четырехугольнике $AB_1C_1D$ две противолежащие стороны $AD$ и $B_1C_1$ параллельны и равны, он является параллелограммом. Следовательно, другие его противолежащие стороны $AB_1$ и $DC_1$ также параллельны, то есть $AB_1 \parallel DC_1$.
Итак, мы установили, что две пересекающиеся в точке $A$ прямые $AC$ и $AB_1$ из плоскости $ACB_1$ соответственно параллельны прямым $A_1C_1$ и $DC_1$ из плоскости $A_1C_1D$. Прямые $A_1C_1$ и $DC_1$ пересекаются в точке $C_1$ (так как являются диагоналями смежных граней $A_1B_1C_1D_1$ и $DCC_1D_1$, имеющими общую вершину $C_1$).
Таким образом, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $ACB_1$ параллельна плоскости $A_1C_1D$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 6.15 расположенного на странице 67 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №6.15 (с. 67), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.