Страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.15. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что плоскости $ACB_1$ и $A_1C_1D$ параллельны.

Для доказательства параллельности плоскостей $ACB_1$ и $A_1C_1D$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Рассмотрим плоскость $ACB_1$. Выберем в ней две прямые, пересекающиеся в точке $A$: $AC$ и $AB_1$.

Рассмотрим плоскость $A_1C_1D$. В ней лежат прямые $A_1C_1$ и $DC_1$.

Докажем, что $AC \parallel A_1C_1$. Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его боковые ребра $AA_1$ и $CC_1$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противолежащие стороны параллельны и равны), $ACC_1A_1$ является параллелограммом. Следовательно, другие его противолежащие стороны также параллельны, то есть $AC \parallel A_1C_1$.

Теперь докажем, что $AB_1 \parallel DC_1$. Рассмотрим четырехугольник $AB_1C_1D$. В кубе ребро $AD$ параллельно и равно ребру $B_1C_1$ (поскольку $AD \parallel BC \parallel B_1C_1$ и $AD = BC = B_1C_1$). Так как в четырехугольнике $AB_1C_1D$ две противолежащие стороны $AD$ и $B_1C_1$ параллельны и равны, он является параллелограммом. Следовательно, другие его противолежащие стороны $AB_1$ и $DC_1$ также параллельны, то есть $AB_1 \parallel DC_1$.

Итак, мы установили, что две пересекающиеся в точке $A$ прямые $AC$ и $AB_1$ из плоскости $ACB_1$ соответственно параллельны прямым $A_1C_1$ и $DC_1$ из плоскости $A_1C_1D$. Прямые $A_1C_1$ и $DC_1$ пересекаются в точке $C_1$ (так как являются диагоналями смежных граней $A_1B_1C_1D_1$ и $DCC_1D_1$, имеющими общую вершину $C_1$).

Таким образом, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $ACB_1$ параллельна плоскости $A_1C_1D$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

6.16. На ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$ (рис. 6.16). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $ACC_1$. Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 6.16

Построение сечения

Пусть искомая секущая плоскость — это плоскость $ \alpha $. По условию, $ \alpha $ проходит через точку $ M $ на ребре $ AB $ и параллельна плоскости $ (ACC_1) $. Плоскость $ (ACC_1) $ является диагональной плоскостью куба, проходящей через диагональ основания $ AC $ и боковое ребро $ CC_1 $, и совпадает с плоскостью $ (ACC_1A_1) $.

Для построения сечения используем свойство: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1) В плоскости нижнего основания $ (ABCD) $ проведем через точку $ M $ прямую, параллельную диагонали $ AC $. Эта прямая пересекает ребро $ BC $ в точке $ N $. Отрезок $ MN $ — одна из сторон сечения.

2) В плоскости боковой грани $ (BCC_1B_1) $ проведем через точку $ N $ прямую, параллельную ребру $ CC_1 $. Эта прямая пересекает ребро $ B_1C_1 $ в точке $ P $. Отрезок $ NP $ — вторая сторона сечения.

3) В плоскости верхнего основания $ (A_1B_1C_1D_1) $ проведем через точку $ P $ прямую, параллельную диагонали $ A_1C_1 $. Она пересечет ребро $ A_1B_1 $ в точке $ K $. Отрезок $ PK $ — третья сторона сечения.

4) Соединим точки $ K $ и $ M $. Отрезок $ KM $ лежит в плоскости передней грани $ (ABB_1A_1) $. Он замыкает сечение и будет параллелен ребру $ AA_1 $.

Искомое сечение — это четырехугольник $ MNPK $. Поскольку противолежащие стороны сечения попарно параллельны ($ MN \parallel PK $ и $ NP \parallel KM $), $ MNPK $ — параллелограмм. Ребро куба $ AA_1 $ перпендикулярно плоскости основания $ (ABCD) $. Так как $ KM \parallel AA_1 $, то и $ KM $ перпендикулярно плоскости $ (ABCD) $, а значит и прямой $ MN $, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $ \angle KMN = 90^\circ $, и сечение $ MNPK $ является прямоугольником.

Нахождение периметра полученного сечения

Периметр прямоугольника $ MNPK $ вычисляется по формуле $ P = 2(KM + MN) $.

Сначала найдем длины сторон прямоугольника. Длина стороны $ KM $ равна длине бокового ребра куба, так как отрезок $ KM $ соединяет параллельные грани $ ABCD $ и $ A_1B_1C_1D_1 $ и параллелен боковому ребру $ AA_1 $. Следовательно, $ KM = a $.

Далее найдем длину стороны $ MN $. В основании куба лежит квадрат $ ABCD $. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $. По теореме Пифагора, его гипотенуза $ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} $. По построению $ MN \parallel AC $, следовательно, треугольник $ \triangle BMN $ подобен треугольнику $ \triangle BAC $. Из условия задачи $ AM : MB = 1:2 $, значит $ MB = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}a $. Коэффициент подобия $ k $ равен отношению соответственных сторон: $ k = \frac{BM}{BA} = \frac{\frac{2}{3}a}{a} = \frac{2}{3} $. Отсюда находим длину $ MN $: $ MN = k \cdot AC = \frac{2}{3} \cdot a\sqrt{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{3} $.

Теперь вычислим периметр сечения:
$ P = 2(KM + MN) = 2 \left( a + \frac{2a\sqrt{2}}{3} \right) = 2a + \frac{4a\sqrt{2}}{3} $.

Ответ: $ 2a + \frac{4a\sqrt{2}}{3} $.

6.17. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 6.17). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $A_1BC$. Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 6.17

Построение сечения

Пусть искомое сечение определяется плоскостью $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$, которая является серединой ребра $CC_1$, и параллельна плоскости $(A_1BC)$.

Для построения сечения воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. В качестве третьих плоскостей будем рассматривать плоскости граней куба.

1. Начнем построение с грани $BCC_1B_1$, так как она содержит точку $M$. Плоскость этой грани пересекает плоскость $(A_1BC)$ по прямой $BC$. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой, проходящей через $M$ и параллельной $BC$. Проведем эту прямую и обозначим точку ее пересечения с ребром $BB_1$ как $K$. Так как $M$ — середина $CC_1$ и $MK \parallel BC$, то по теореме Фалеса точка $K$ является серединой ребра $BB_1$. Отрезок $MK$ — первая сторона сечения.

2. Теперь рассмотрим грань $ABB_1A_1$, содержащую точку $K$. Плоскость этой грани пересекает плоскость $(A_1BC)$ по прямой $A_1B$. Значит, плоскость $\alpha$ пересекает грань $ABB_1A_1$ по прямой, проходящей через точку $K$ (середину $BB_1$) и параллельной диагонали $A_1B$. Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $P$. Из подобия треугольников в плоскости грани $ABB_1A_1$ следует, что $P$ — середина ребра $A_1B_1$. Отрезок $KP$ — вторая сторона сечения.

3. Рассмотрим верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$, содержащую точку $P$. Линии пересечения секущей плоскости с параллельными гранями куба должны быть параллельны. Так как грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна грани $ABCD$, а секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой $MK$, параллельной $BC$ (линии пересечения $(A_1BC)$ и $ABCD$), то линия пересечения $\alpha$ с верхней гранью должна быть также параллельна $BC$ (или $B_1C_1$). Проводим через точку $P$ (середину $A_1B_1$) прямую, параллельную $B_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $D_1C_1$ в его середине. Обозначим эту точку $Q$. Отрезок $PQ$ — третья сторона сечения.

4. Точки $Q$ (середина $D_1C_1$) и $M$ (середина $CC_1$) лежат в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Соединив их, получим отрезок $QM$, который является четвертой стороной сечения. Построение завершено.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $MKPQ$.

Ответ: Сечением является четырехугольник $MKPQ$, вершины которого $M, K, P, Q$ являются серединами ребер $CC_1, BB_1, A_1B_1, D_1C_1$ соответственно.

Нахождение периметра полученного сечения

Для вычисления периметра четырехугольника $MKPQ$ найдем длины его сторон. Пусть ребро куба равно $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$ (ось Ox), $DC$ (ось Oy) и $DD_1$ (ось Oz). В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты: $D(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $B(a,a,0)$, $D_1(0,0,a)$, $A_1(a,0,a)$, $C_1(0,a,a)$, $B_1(a,a,a)$.

Найдем координаты вершин сечения:
$M$ (середина $CC_1$): $M = (\frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}) = (0, a, \frac{a}{2})$
$K$ (середина $BB_1$): $K = (\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}) = (a, a, \frac{a}{2})$
$P$ (середина $A_1B_1$): $P = (\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}) = (a, \frac{a}{2}, a)$
$Q$ (середина $D_1C_1$): $Q = (\frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}) = (0, \frac{a}{2}, a)$

Теперь, используя формулу расстояния между точками в пространстве $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$, вычислим длины сторон:
$MK = \sqrt{(a-0)^2 + (a-a)^2 + (\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2} = a$
$KP = \sqrt{(a-a)^2 + (\frac{a}{2}-a)^2 + (a-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{0 + (-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
$PQ = \sqrt{(0-a)^2 + (\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2 + (a-a)^2} = \sqrt{(-a)^2} = a$
$QM = \sqrt{(0-0)^2 + (a-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2}-a)^2} = \sqrt{0 + (\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Периметр сечения $P_{MKPQ}$ равен сумме длин его сторон:
$P_{MKPQ} = MK + KP + PQ + QM = a + \frac{a\sqrt{2}}{2} + a + \frac{a\sqrt{2}}{2} = 2a + a\sqrt{2} = a(2+\sqrt{2})$

Ответ: $a(2 + \sqrt{2})$

6.18. На рёбрах $AA_1$ и $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $K$, а на продолжении ребра $BB_1$ за точку $B_1$ — точку $N$ (рис. 6.18). Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Рис. 6.18

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, воспользуемся методом следов и свойством параллельности граней куба. Построение будем выполнять пошагово.

1. Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости одной грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $MK$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и является одной из сторон искомого сечения. Соединим точки $M$ и $K$.
2. Построим след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости нижнего основания $(ABC)$. След — это прямая, по которой плоскость $(MNK)$ пересекает плоскость $(ABC)$. Точка $K$ принадлежит обеим плоскостям, значит, она лежит на следе. Для построения прямой нам нужна еще одна точка.
3. Найдем вторую точку следа. Прямая $MN$ лежит в секущей плоскости $(MNK)$. Найдем точку ее пересечения с плоскостью основания $(ABC)$. Прямые $MN$ и $AB$ лежат в одной плоскости грани $ABB_1A_1$. Так как точка $N$ находится на продолжении ребра $BB_1$, а точка $M$ — на ребре $AA_1$, эти прямые не параллельны и пересекаются. Продлим отрезки $MN$ и $AB$ до их пересечения в точке $P$. Точка $P$ принадлежит прямой $MN$ (а значит, и плоскости $(MNK)$) и прямой $AB$ (а значит, и плоскости $(ABC)$). Таким образом, точка $P$ — вторая точка следа.
4. Проведем прямую через точки $P$ и $K$. Прямая $PK$ — это и есть след секущей плоскости на плоскости нижнего основания. Эта прямая пересекает ребра куба, лежащие в плоскости основания. Точка $K$ уже лежит на ребре $AD$. Найдем точку пересечения прямой $PK$ с ребром $CD$. Обозначим эту точку $L$. Отрезок $KL$ — это сторона сечения, лежащая на грани $ABCD$.
5. Теперь построим сторону сечения, лежащую на грани $ABB_1A_1$. Точка $M$ принадлежит этой грани. Построенная нами точка $P$ также лежит в плоскости этой грани (на прямой $AB$). Следовательно, прямая $MP$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $ABB_1A_1$. Эта прямая пересекает ребро $BB_1$ в некоторой точке. Обозначим ее $Q$. Отрезок $MQ$ — сторона сечения на грани $ABB_1A_1$.
6. Воспользуемся свойством параллельности: линии пересечения секущей плоскости с параллельными гранями куба параллельны. Грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллельны. Мы уже построили линию пересечения с гранью $ABB_1A_1$ — это отрезок $MQ$. Значит, линия пересечения с гранью $DCC_1D_1$ должна быть параллельна $MQ$. Мы уже имеем одну точку на этой грани — точку $L$. Проведем через точку $L$ прямую, параллельную $MQ$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке $S$. Отрезок $LS$ — сторона сечения на грани $DCC_1D_1$.
7. Мы получили точки $Q$ на ребре $BB_1$ и $S$ на ребре $CC_1$. Обе эти точки лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $QS$. Этот отрезок является последней стороной нашего сечения.

В результате последовательного выполнения шагов мы получили замкнутый многоугольник $MKLQS$. Этот пятиугольник и является искомым сечением куба плоскостью $MNK$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $MKLQS$, вершины которого лежат на ребрах куба: $M \in AA_1$, $K \in AD$, $L \in CD$, $S \in CC_1$, $Q \in BB_1$.

6.19. На рёбрах $AB$ и $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на продолжении ребра $B_1C_1$ за точку $C_1$ — точку $K$ (рис. 6.19). Постройте сечение куба плоскостью $EFK$.

Рис. 6.19

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $F$ и $K$, воспользуемся методом следов. Построение будем выполнять пошагово, находя линии пересечения (следы) секущей плоскости с гранями куба.

Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости верхней грани куба (точка $F$ по условию лежит на ребре $A_1D_1$, а точка $K$ — на продолжении ребра $B_1C_1$, которое также лежит в этой плоскости). Следовательно, прямая $FK$ является следом секущей плоскости на плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Эта прямая пересекает ребро $C_1D_1$ в некоторой точке $M$. Так как точки $F$ и $M$ лежат на ребрах верхней грани, отрезок $FM$ является одной из сторон искомого сечения.

В плоскости передней грани лежит точка $E$. Чтобы построить след, нам нужна еще одна точка. Найдем точку пересечения прямой $FK$ (которая лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$) с плоскостью передней грани $ABB_1A_1$. Эти две плоскости пересекаются по прямой $A_1B_1$. Значит, точка пересечения прямой $FK$ и плоскости $ABB_1A_1$ — это точка пересечения прямых $FK$ и $A_1B_1$. Обозначим эту вспомогательную точку как $L$.

Теперь в плоскости передней грани $ABB_1A_1$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: $E$ и $L$. Проводим через них прямую $EL$. Эта прямая пересекает ребро $A_1A$ в точке, которую мы обозначим $P$. Отрезок $EP$ является второй стороной сечения.

Мы получили точку $P$ на ребре $A_1A$. Точка $F$ по условию лежит на ребре $A_1D_1$. Обе эти точки, $P$ и $F$, принадлежат плоскости левой грани $ADD_1A_1$. Соединив их, получаем отрезок $PF$ — третью сторону сечения.

Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Мы уже знаем, что линия пересечения с верхней гранью — это прямая $FM$. Следовательно, линия пересечения с нижней гранью будет прямой, проходящей через точку $E$ (лежащую в нижней грани) и параллельной прямой $FM$.

Проведем через $E$ прямую, параллельную $FM$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке $G$. Отрезок $EG$ является четвертой стороной сечения.

На данный момент у нас есть вершины сечения: $E$ на $AB$, $P$ на $A_1A$, $F$ на $A_1D_1$, $M$ на $C_1D_1$ и $G$ на $CD$. Чтобы замкнуть многоугольник сечения, нужно соединить точки $M$ и $G$. Обе эти точки лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$ ($M \in C_1D_1$, $G \in CD$). Соединяем их и получаем отрезок $MG$ — пятую, заключительную сторону сечения.

В результате мы построили пятиугольник $EPFMG$. Это и есть искомое сечение куба плоскостью $EFK$.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $EPFMG$, вершины которого лежат на ребрах куба: $E \in AB$, $P \in A_1A$, $F \in A_1D_1$, $M \in C_1D_1$, $G \in CD$. Пошаговое построение пятиугольника описано выше.

6.20. Точка $M$ принадлежит ребру $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте линию пересечения плоскостей $BDD_1$ и $CC_1M$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $(BDD_1)$ и $(CC_1M)$, необходимо найти две общие точки этих плоскостей, либо одну общую точку и направление линии пересечения. Воспользуемся вторым подходом.

1. Найдем одну общую точку для плоскостей $(BDD_1)$ и $(CC_1M)$. Для этого рассмотрим плоскость верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$.

• Плоскость $(BDD_1)$ пересекает плоскость верхней грани по прямой $B_1D_1$, так как точки $B_1$ и $D_1$ принадлежат обеим плоскостям.
• Плоскость $(CC_1M)$ пересекает плоскость верхней грани по прямой $C_1M$, так как точки $C_1$ и $M$ (по условию $M \in A_1D_1$, а ребро $A_1D_1$ лежит в плоскости верхней грани) принадлежат обеим плоскостям.

Прямые $B_1D_1$ и $C_1M$ обе лежат в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ и не параллельны (в общем случае). Следовательно, они пересекаются. Построим эти прямые и отметим точку их пересечения $K$.$$ K = B_1D_1 \cap C_1M $$Поскольку точка $K$ принадлежит прямой $B_1D_1$, то $K \in (BDD_1)$. Поскольку точка $K$ принадлежит прямой $C_1M$, то $K \in (CC_1M)$. Таким образом, точка $K$ является общей точкой двух плоскостей и, следовательно, лежит на их линии пересечения.

2. Определим направление линии пересечения.

• Плоскость $(CC_1M)$ содержит боковое ребро $CC_1$.
• Плоскость $(BDD_1)$ содержит боковое ребро $DD_1$.
• В кубе все боковые ребра параллельны, значит $CC_1 \parallel DD_1$.

Рассмотрим прямую $CC_1$ и плоскость $(BDD_1)$. Так как прямая $CC_1$ параллельна прямой $DD_1$, а прямая $DD_1$ лежит в плоскости $(BDD_1)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $CC_1$ параллельна плоскости $(BDD_1)$.

Согласно теореме, если плоскость (в нашем случае $(CC_1M)$) проходит через прямую ($CC_1$), параллельную другой плоскости ($(BDD_1)$), и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой.

Следовательно, линия пересечения плоскостей $(BDD_1)$ и $(CC_1M)$ параллельна ребру $CC_1$.

3. Теперь мы можем построить искомую линию. Это прямая, которая проходит через найденную точку $K$ и параллельна ребру $CC_1$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $K$, являющуюся пересечением прямых $B_1D_1$ и $C_1M$, и параллельная ребру $CC_1$.

6.21. Точка $E$ принадлежит ребру $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте линию пересечения плоскостей $ACC_1$ и $BED$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Задача состоит в построении линии пересечения плоскости диагонального сечения $(ACC_1)$ и плоскости $(BED)$.

1. Нахождение первой общей точки

Плоскость $(ACC_1)$ содержит диагональ нижнего основания $AC$.
Плоскость $(BED)$ содержит диагональ нижнего основания $BD$.
Диагонали основания $ABCD$ (которое является квадратом) пересекаются в его центре. Обозначим эту точку $O$.$O = AC \cap BD$.
Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AC$, она принадлежит плоскости $(ACC_1)$.
Поскольку точка $O$ лежит на прямой $BD$, она принадлежит плоскости $(BED)$.
Следовательно, точка $O$ является первой общей точкой двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки

Для нахождения второй точки воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость верхнего основания куба $(A_1B_1C_1D_1)$.
а) Найдем линию пересечения плоскости $(ACC_1)$ с плоскостью $(A_1B_1C_1D_1)$. Эта линия — диагональ верхнего основания $A_1C_1$.
б) Найдем линию пересечения плоскости $(BED)$ с плоскостью $(A_1B_1C_1D_1)$.
- Точка $E$ по условию принадлежит ребру $B_1C_1$, следовательно, точка $E$ лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. По определению плоскости $(BED)$, точка $E$ также принадлежит и этой плоскости. Значит, $E$ — общая точка для плоскостей $(BED)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$.
- Прямая $BD$ лежит в плоскости $(BED)$. Плоскость нижнего основания $(ABCD)$ параллельна плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$, поэтому прямая $BD$ параллельна плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$.
- Согласно свойству, если плоскость $(BED)$ проходит через прямую $BD$, параллельную плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна прямой $BD$.
- Таким образом, линия пересечения плоскостей $(BED)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$ проходит через их общую точку $E$ параллельно прямой $BD$. В кубе $BD \parallel B_1D_1$, поэтому искомая линия (обозначим её $l$) проходит через $E$ и параллельна $B_1D_1$.
в) Вторая общая точка искомых плоскостей $(ACC_1)$ и $(BED)$ будет являться точкой пересечения прямых $A_1C_1$ и $l$, так как обе эти прямые лежат во вспомогательной плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$, и при этом $A_1C_1 \subset (ACC_1)$, а $l \subset (BED)$. Обозначим эту точку $K$.
$K = A_1C_1 \cap l$.
Следовательно, точка $K$ является второй общей точкой плоскостей $(ACC_1)$ и $(BED)$.

3. Построение искомой линии

Соединив две найденные общие точки $O$ и $K$, получаем прямую $OK$. Эта прямая и является линией пересечения плоскостей $(ACC_1)$ и $(BED)$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая $OK$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ нижнего основания куба, а $K$ — точка пересечения диагонали $A_1C_1$ верхнего основания с прямой, проходящей через точку $E$ в плоскости верхнего основания параллельно диагонали $B_1D_1$.