Страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.31. Точка $D$ лежит на ребре $AB$ призмы $ABCA_1B_1C_1$, точка $E$ принадлежит грани $AA_1B_1B$ (рис. 6.24). Постройте линию пересечения плоскости $ACC_1$ и плоскости, проходящей через точку $E$ параллельно плоскости $DCC_1$.

Рис. 6.24

Обозначим искомое сечение $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ и параллельна плоскости $(DCC_1)$. Нам необходимо построить линию пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $(ACC_1)$.

Построение будет состоять из следующих шагов:

1. Построение вспомогательной линии в плоскости $\alpha$.
Поскольку плоскость $\alpha \parallel (DCC_1)$, то любая прямая в плоскости $\alpha$ будет параллельна некоторой прямой в плоскости $(DCC_1)$. Боковое ребро $CC_1$ лежит в плоскости $(DCC_1)$. В призме все боковые ребра параллельны, то есть $CC_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1$. Точка $E$ лежит в грани $(AA_1B_1B)$. Проведем через точку $E$ прямую, параллельную $AA_1$. Эта прямая будет также параллельна $CC_1$. Обозначим эту прямую $l_1$. Так как $l_1 \parallel CC_1$ и $CC_1 \subset (DCC_1)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, $l_1$ параллельна плоскости $(DCC_1)$. Поскольку $l_1$ проходит через точку $E$, она лежит в плоскости $\alpha$.
Пусть прямая $l_1$ пересекает ребро $AB$ в точке $F$. Точка $F$ принадлежит плоскости $\alpha$.

2. Нахождение точки, принадлежащей искомой линии пересечения.
Рассмотрим пересечение плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $(ABC)$. Поскольку $\alpha \parallel (DCC_1)$, а плоскость $(ABC)$ пересекает плоскость $(DCC_1)$ по прямой $DC$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $(ABC)$ будет прямой, параллельной $DC$.
Мы уже нашли точку $F$, которая принадлежит одновременно плоскости $\alpha$ и плоскости $(ABC)$. Следовательно, в плоскости $(ABC)$ проведем прямую через точку $F$ параллельно прямой $DC$. Обозначим эту прямую $l_2$. Прямая $l_2$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$.
Теперь найдем точку пересечения прямой $l_2$ с плоскостью $(ACC_1)$. Плоскость $(ACC_1)$ пересекается с плоскостью $(ABC)$ по прямой $AC$. Пусть прямая $l_2$ пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Точка $K$ лежит на прямой $AC$, значит, $K \in (ACC_1)$. Точка $K$ лежит на прямой $l_2$, значит, $K \in \alpha$. Таким образом, точка $K$ является общей точкой плоскостей $\alpha$ и $(ACC_1)$, а значит, лежит на их линии пересечения.

3. Определение направления искомой линии пересечения.
Пусть $m$ - искомая линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ACC_1)$, то есть $m = \alpha \cap (ACC_1)$.
Известно, что если две параллельные плоскости ($\alpha$ и $(DCC_1)$) пересекаются третьей плоскостью (в нашем случае $(ACC_1)$), то их линии пересечения параллельны.
Найдем линию пересечения плоскостей $(DCC_1)$ и $(ACC_1)$. Эти плоскости имеют общую точку $C$. Также они имеют общую точку $C_1$. Следовательно, они пересекаются по прямой $CC_1$.
Таким образом, искомая линия пересечения $m$ должна быть параллельна прямой $CC_1$.

4. Построение искомой линии пересечения.
Мы нашли точку $K$, принадлежащую искомой линии, и определили ее направление (параллельно $CC_1$). Следовательно, искомая линия пересечения - это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно ребру $CC_1$. Эта прямая целиком лежит в плоскости $(ACC_1)$, так как проходит через точку $K \in AC$ и параллельна $AA_1$ (и $CC_1$), которые также лежат в этой плоскости.

Алгоритм построения:
1. В грани $(AA_1B_1B)$ через точку $E$ провести прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с $AB$ в точке $F$.
2. В плоскости основания $(ABC)$ через точку $F$ провести прямую, параллельную $DC$, до пересечения с $AC$ в точке $K$.
3. В плоскости грани $(ACC_1)$ через точку $K$ провести прямую, параллельную $CC_1$. Эта прямая и является искомой линией пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения - это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно ребру $CC_1$, где точка $K$ строится следующим образом: в плоскости $(AA_1B_1B)$ через точку $E$ проводится прямая $EF \parallel AA_1$ ($F \in AB$), а затем в плоскости $(ABC)$ через точку $F$ проводится прямая $FK \parallel DC$ ($K \in AC$).

6.32. Точка $E$ лежит на ребре $BC$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $F$ принадлежит грани $BB_1C_1C$ (рис. 6.25). Постройте линию пересечения плоскости $ABB_1$ и плоскости, проходящей через точку $F$ параллельно плоскости $EDD_1$.

Рис. 6.25

Обозначим искомую плоскость, проходящую через точку $F$ параллельно плоскости $(EDD_1)$, как $\alpha$. Таким образом, по условию, $\alpha \parallel (EDD_1)$. Плоскость грани $ABB_1A_1$ обозначим как $\beta$. Нам необходимо построить линию пересечения $l = \alpha \cap \beta$.

Согласно свойству параллельных плоскостей, если некоторая плоскость (в нашем случае $\beta$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $(EDD_1)$), то линии их пересечения параллельны. То есть, искомая линия $l$ будет параллельна линии пересечения плоскостей $(EDD_1)$ и $\beta = (ABB_1)$. Обозначим эту линию пересечения как $k$, где $k = (EDD_1) \cap (ABB_1)$.

Таким образом, для построения искомой прямой $l$ нам нужно выполнить два шага:

1. Найти направление прямой $l$.
2. Найти одну точку, принадлежащую прямой $l$.

1. Определение направления искомой линии пересечения.

Направление линии $l$ совпадает с направлением линии $k = (EDD_1) \cap (ABB_1)$. Рассмотрим плоскости $(EDD_1)$ и $(ABB_1)$:

• Плоскость $(EDD_1)$ содержит боковое ребро призмы $DD_1$.
• Плоскость $(ABB_1)$ содержит боковое ребро призмы $AA_1$.

По определению призмы, все ее боковые ребра параллельны, следовательно, $DD_1 \parallel AA_1$. Существует теорема: если две пересекающиеся плоскости содержат две параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым. Применяя эту теорему к плоскостям $(EDD_1)$ и $(ABB_1)$ и параллельным прямым $DD_1$ и $AA_1$, получаем, что линия их пересечения $k$ параллельна этим ребрам: $k \parallel DD_1 \parallel AA_1$. Так как $l \parallel k$, то искомая линия $l$ также параллельна боковым ребрам призмы: $l \parallel AA_1$.

2. Нахождение точки на искомой линии пересечения.

Для нахождения точки, принадлежащей линии $l$, необходимо найти любую общую точку плоскостей $\alpha$ и $\beta=(ABB_1)$. Воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

а) Проведем через точку $F$ вспомогательную секущую плоскость $\gamma$, параллельную плоскости основания $ABC$. Так как точка $F$ лежит на грани $BB_1C_1C$, эта плоскость пересечет ребра $BB_1$ и $CC_1$ в некоторых точках $B'$ и $C'$ соответственно. Точка $F$ будет лежать на отрезке $B'C'$. Также плоскость $\gamma$ пересечет ребро $AA_1$ в точке $A'$.

б) Найдем линию пересечения $m$ плоскости $\alpha$ и вспомогательной плоскости $\gamma$. По свойству параллельных плоскостей, $m = \alpha \cap \gamma$ будет параллельна линии пересечения $(EDD_1) \cap (ABC)$. Линией пересечения $(EDD_1)$ и $(ABC)$ является прямая $ED$. Следовательно, $m \parallel ED$. Так как $F \in \alpha$ и $F \in \gamma$, то точка $F$ лежит на прямой $m$. Таким образом, $m$ — это прямая, проходящая в плоскости $\gamma$ через точку $F$ параллельно прямой $ED$.

в) Теперь найдем общую точку для $m$ и плоскости $\beta=(ABB_1)$. Прямая $m$ лежит во вспомогательной плоскости $\gamma$. Плоскость $\beta=(ABB_1)$ пересекает вспомогательную плоскость $\gamma$ по прямой $A'B'$. Следовательно, точка пересечения прямой $m$ с плоскостью $\beta$ будет точкой пересечения прямых $m$ и $A'B'$ в плоскости $\gamma$. Обозначим эту точку как $Q$.

г) Точка $Q$ является искомой точкой, принадлежащей линии $l$. Действительно:

• По построению $Q \in m$, а так как $m \subset \alpha$, то $Q \in \alpha$.
• По построению $Q \in A'B'$, а так как $A'B' \subset (ABB_1) = \beta$, то $Q \in \beta$.

Поскольку $Q$ принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$, она лежит на линии их пересечения $l$.

3. Построение искомой линии.

Мы нашли точку $Q$, принадлежащую искомой линии $l$, и определили ее направление ($l \parallel AA_1$). Следовательно, искомая линия пересечения $l$ — это прямая, проходящая через точку $Q$ параллельно боковому ребру $AA_1$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через построенную точку $Q$ параллельно боковым ребрам призмы. Алгоритм построения:

1. Через точку $F$ провести плоскость $\gamma$, параллельную основанию $ABC$. Найти точки $A'$ и $B'$ как пересечения этой плоскости с ребрами $AA_1$ и $BB_1$ соответственно.
2. В плоскости $\gamma$ через точку $F$ провести прямую $m$ параллельно прямой $ED$.
3. Найти точку $Q$ как пересечение прямой $m$ и прямой $A'B'$.
4. Провести через точку $Q$ прямую, параллельную ребру $AA_1$. Эта прямая и является искомой линией пересечения.

6.33. На рёбрах $AD$, $CD$ и $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $E$, $F$ и $K$ (рис. 6.26). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $EFB_1$.

Рис. 6.26

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $EFB_1$, воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Также, если две параллельные плоскости пересекают две другие параллельные плоскости, то линии пересечения первой плоскости с двумя другими будут параллельны линиям пересечения второй плоскости с ними.

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$, а заданную плоскость $(EFB_1)$ как $\beta$. Нам дано, что $K \in \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$.

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Построение линии пересечения плоскости $\alpha$ с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$.
   Плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ параллельна плоскости нижней грани $ABCD$. Плоскость $\beta$ пересекает нижнюю грань по прямой $EF$. Следовательно, искомая плоскость $\alpha$ должна пересекать верхнюю грань по прямой, параллельной $EF$.
   Так как точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$ и лежит на ребре $B_1C_1$ верхней грани, проводим в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ прямую через точку $K$ параллельно прямой $EF$. Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $M$ и ребро $C_1D_1$ в точке $L$. Отрезки $MK$ и $KL$ (составляющие отрезок $ML$) являются сторонами искомого сечения.
2. Построение линии пересечения плоскости $\alpha$ с задней гранью $CDD_1C_1$.
   Плоскость задней грани $CDD_1C_1$ параллельна плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Найдём сначала линию пересечения (след) плоскости $\beta$ с плоскостью передней грани. Точка $B_1$ принадлежит этой линии. Чтобы найти вторую точку, продлим прямую $EF$ в плоскости основания до пересечения с прямой $AB$. Обозначим точку их пересечения $X$. Так как $X \in EF$, то $X \in \beta$. Так как $X \in AB$, то $X$ лежит в плоскости передней грани. Таким образом, прямая $XB_1$ является линией пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью передней грани $ABB_1A_1$.
   Следовательно, плоскость $\alpha$ должна пересекать параллельную ей заднюю грань $CDD_1C_1$ по прямой, параллельной $XB_1$. У нас уже есть точка $L$, принадлежащая сечению и задней грани. Проводим в плоскости $CDD_1C_1$ прямую через точку $L$ параллельно прямой $XB_1$. Пусть эта прямая пересекает ребро $CD$ в точке $P$. Отрезок $LP$ – сторона сечения.
3. Построение линии пересечения плоскости $\alpha$ с нижней гранью $ABCD$.
   Плоскость нижней грани $ABCD$ параллельна плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с верхней гранью – это прямая $ML$. Значит, линия пересечения с нижней гранью должна быть ей параллельна. У нас есть точка $P$, принадлежащая сечению и нижней грани. Проводим в плоскости $ABCD$ прямую через точку $P$ параллельно $ML$ (а значит и $EF$). Пусть эта прямая пересекает ребро $AD$ в точке $Q$. Отрезок $PQ$ – сторона сечения.
4. Построение линии пересечения плоскости $\alpha$ с передней гранью $ABB_1A_1$.
   Плоскость передней грани $ABB_1A_1$ параллельна плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с задней гранью – это прямая $LP$. Следовательно, линия пересечения с передней гранью должна быть ей параллельна. У нас есть точка $M$, принадлежащая сечению и передней грани. Проводим в плоскости $ABB_1A_1$ прямую через точку $M$ параллельно $LP$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AA_1$ в точке $R$. Отрезок $MR$ – сторона сечения.
5. Завершение построения.
   Мы получили точки $Q$ (на ребре $AD$) и $R$ (на ребре $AA_1$), которые принадлежат искомому сечению. Обе эти точки лежат в плоскости левой грани $ADD_1A_1$. Соединяем точки $Q$ и $R$. Отрезок $QR$ является последней стороной сечения.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $MKLPQR$, построенный в соответствии с описанными шагами.

6.34. Точка $K$ принадлежит грани $DME$ пирамиды $MABCDE$ (рис. 6.27).

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $CMD$.

Рис. 6.27

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точку $K$ и параллельна плоскости $(CMD)$.

Для построения сечения мы будем использовать свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Построение

1. Точка $K$ по условию лежит в грани $(DME)$. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $(DME)$. Так как $\alpha \parallel (CMD)$, то их линии пересечения с плоскостью $(DME)$ должны быть параллельны. Плоскость $(CMD)$ пересекает плоскость $(DME)$ по прямой $DM$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $(DME)$ — это прямая, проходящая через точку $K$ и параллельная ребру $DM$.
2. Проведем в плоскости грани $(DME)$ через точку $K$ прямую, параллельную $DM$. Пусть эта прямая пересекает ребра $ME$ и $DE$ в точках $P_1$ и $P_2$ соответственно. Отрезок $P_1P_2$ — это след секущей плоскости на грани $(DME)$. Таким образом, $P_1P_2 \parallel DM$.
3. Точка $P_2$ принадлежит ребру $DE$ и, следовательно, также грани $(CDE)$. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $(CDE)$. Так как $\alpha \parallel (CMD)$, то их линии пересечения с плоскостью $(CDE)$ должны быть параллельны. Плоскость $(CMD)$ пересекает плоскость $(CDE)$ по прямой $CD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $(CDE)$ — это прямая, проходящая через точку $P_2$ и параллельная ребру $CD$.
4. Проведем в плоскости грани $(CDE)$ через точку $P_2$ прямую, параллельную $CD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $CE$ в точке $P_3$. Отрезок $P_2P_3$ — это след секущей плоскости на грани $(CDE)$. Таким образом, $P_2P_3 \parallel CD$.
5. Точки $P_1$ и $P_3$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$. Точка $P_1$ лежит на ребре $ME$, а точка $P_3$ — на ребре $CE$. Оба этих ребра принадлежат грани $(MCE)$. Следовательно, отрезок $P_1P_3$ является следом секущей плоскости на грани $(MCE)$. Соединим точки $P_1$ и $P_3$.
6. В результате мы получили треугольник $P_1P_2P_3$, который является искомым сечением.

Обоснование

Мы построили треугольник $P_1P_2P_3$ и должны доказать, что его плоскость параллельна плоскости $(CMD)$ и проходит через точку $K$.

По построению мы имеем:

• $P_1P_2 \parallel DM$, где $DM \subset (CMD)$.
• $P_2P_3 \parallel CD$, где $CD \subset (CMD)$.

Прямые $P_1P_2$ и $P_2P_3$ пересекаются в точке $P_2$. Прямые $DM$ и $CD$ пересекаются в точке $D$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае, прямые $P_1P_2$ и $P_2P_3$ в плоскости $(P_1P_2P_3)$ параллельны соответственно прямым $DM$ и $CD$ в плоскости $(CMD)$. Следовательно, плоскость $(P_1P_2P_3) \parallel (CMD)$.

Поскольку прямая $P_1P_2$ была построена через точку $K$, то и вся плоскость $(P_1P_2P_3)$ проходит через точку $K$. Таким образом, треугольник $P_1P_2P_3$ является искомым сечением.

Можно также убедиться, что третья сторона сечения $P_1P_3$ параллельна третьей стороне треугольника $CMD$, то есть ребру $MC$. Из того, что $P_1P_2 \parallel DM$ в $\triangle MDE$, по теореме о пропорциональных отрезках имеем: $\frac{EP_1}{EM} = \frac{EP_2}{ED}$. Аналогично, из того, что $P_2P_3 \parallel CD$ в $\triangle CDE$, имеем: $\frac{EP_3}{EC} = \frac{EP_2}{ED}$. Отсюда следует, что $\frac{EP_1}{EM} = \frac{EP_3}{EC}$. По обратной теореме о пропорциональных отрезках для $\triangle MCE$ это означает, что $P_1P_3 \parallel MC$. Это подтверждает правильность построения.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $P_1P_2P_3$, где $P_1 \in ME$, $P_2 \in DE$, $P_3 \in CE$. Сечение строится так: через точку $K$ в плоскости $(DME)$ проводится прямая $P_1P_2$ параллельно $DM$; затем через точку $P_2$ в плоскости $(CDE)$ проводится прямая $P_2P_3$ параллельно $CD$; полученные точки $P_1$ и $P_3$ соединяются.