Номер 6.31, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.31. Точка $D$ лежит на ребре $AB$ призмы $ABCA_1B_1C_1$, точка $E$ принадлежит грани $AA_1B_1B$ (рис. 6.24). Постройте линию пересечения плоскости $ACC_1$ и плоскости, проходящей через точку $E$ параллельно плоскости $DCC_1$.

Рис. 6.24

Обозначим искомое сечение $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ и параллельна плоскости $(DCC_1)$. Нам необходимо построить линию пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $(ACC_1)$.

Построение будет состоять из следующих шагов:

1. Построение вспомогательной линии в плоскости $\alpha$.
Поскольку плоскость $\alpha \parallel (DCC_1)$, то любая прямая в плоскости $\alpha$ будет параллельна некоторой прямой в плоскости $(DCC_1)$. Боковое ребро $CC_1$ лежит в плоскости $(DCC_1)$. В призме все боковые ребра параллельны, то есть $CC_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1$. Точка $E$ лежит в грани $(AA_1B_1B)$. Проведем через точку $E$ прямую, параллельную $AA_1$. Эта прямая будет также параллельна $CC_1$. Обозначим эту прямую $l_1$. Так как $l_1 \parallel CC_1$ и $CC_1 \subset (DCC_1)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, $l_1$ параллельна плоскости $(DCC_1)$. Поскольку $l_1$ проходит через точку $E$, она лежит в плоскости $\alpha$.
Пусть прямая $l_1$ пересекает ребро $AB$ в точке $F$. Точка $F$ принадлежит плоскости $\alpha$.

2. Нахождение точки, принадлежащей искомой линии пересечения.
Рассмотрим пересечение плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $(ABC)$. Поскольку $\alpha \parallel (DCC_1)$, а плоскость $(ABC)$ пересекает плоскость $(DCC_1)$ по прямой $DC$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $(ABC)$ будет прямой, параллельной $DC$.
Мы уже нашли точку $F$, которая принадлежит одновременно плоскости $\alpha$ и плоскости $(ABC)$. Следовательно, в плоскости $(ABC)$ проведем прямую через точку $F$ параллельно прямой $DC$. Обозначим эту прямую $l_2$. Прямая $l_2$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$.
Теперь найдем точку пересечения прямой $l_2$ с плоскостью $(ACC_1)$. Плоскость $(ACC_1)$ пересекается с плоскостью $(ABC)$ по прямой $AC$. Пусть прямая $l_2$ пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Точка $K$ лежит на прямой $AC$, значит, $K \in (ACC_1)$. Точка $K$ лежит на прямой $l_2$, значит, $K \in \alpha$. Таким образом, точка $K$ является общей точкой плоскостей $\alpha$ и $(ACC_1)$, а значит, лежит на их линии пересечения.

3. Определение направления искомой линии пересечения.
Пусть $m$ - искомая линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ACC_1)$, то есть $m = \alpha \cap (ACC_1)$.
Известно, что если две параллельные плоскости ($\alpha$ и $(DCC_1)$) пересекаются третьей плоскостью (в нашем случае $(ACC_1)$), то их линии пересечения параллельны.
Найдем линию пересечения плоскостей $(DCC_1)$ и $(ACC_1)$. Эти плоскости имеют общую точку $C$. Также они имеют общую точку $C_1$. Следовательно, они пересекаются по прямой $CC_1$.
Таким образом, искомая линия пересечения $m$ должна быть параллельна прямой $CC_1$.

4. Построение искомой линии пересечения.
Мы нашли точку $K$, принадлежащую искомой линии, и определили ее направление (параллельно $CC_1$). Следовательно, искомая линия пересечения - это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно ребру $CC_1$. Эта прямая целиком лежит в плоскости $(ACC_1)$, так как проходит через точку $K \in AC$ и параллельна $AA_1$ (и $CC_1$), которые также лежат в этой плоскости.

Алгоритм построения:
1. В грани $(AA_1B_1B)$ через точку $E$ провести прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с $AB$ в точке $F$.
2. В плоскости основания $(ABC)$ через точку $F$ провести прямую, параллельную $DC$, до пересечения с $AC$ в точке $K$.
3. В плоскости грани $(ACC_1)$ через точку $K$ провести прямую, параллельную $CC_1$. Эта прямая и является искомой линией пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения - это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно ребру $CC_1$, где точка $K$ строится следующим образом: в плоскости $(AA_1B_1B)$ через точку $E$ проводится прямая $EF \parallel AA_1$ ($F \in AB$), а затем в плоскости $(ABC)$ через точку $F$ проводится прямая $FK \parallel DC$ ($K \in AC$).