Номер 6.36, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.36. Точки $M$ и $N$ — середины соответственно рёбер $BC$ и $AD$ тетраэдра $DABC$. Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ содержат соответственно прямые $AM$ и $BN$. Постройте сечения тетраэдра плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

По условию задачи, нам необходимо построить сечения тетраэдра $DABC$ двумя параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $AM$, где $M$ — середина ребра $BC$, а плоскость $\beta$ содержит прямую $BN$, где $N$ — середина ребра $AD$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а прямая $BN$ лежит в плоскости $\beta$, то прямая $BN$ должна быть параллельна плоскости $\alpha$. Аналогично, прямая $AM$ должна быть параллельна плоскости $\beta$.

Таким образом, задача сводится к построению:
1) Сечения плоскостью $\alpha$, которая проходит через прямую $AM$ и параллельна прямой $BN$.
2) Сечения плоскостью $\beta$, которая проходит через прямую $BN$ и параллельна прямой $AM$.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через вершину $A$ и точку $M$ на ребре $BC$. Следовательно, $A$ и $M$ являются вершинами искомого сечения. Сечение будет многоугольником, вершины которого лежат на ребрах тетраэдра. Поскольку плоскость $\alpha$ уже содержит две точки $A$ и $M$, которые лежат в разных гранях ($A$ — общая вершина для граней $ABC$, $ABD$, $ACD$, а $M$ — на ребре $BC$ грани $BCD$), сечение, скорее всего, будет треугольником или четырехугольником.

Для построения сечения найдем точки его пересечения с ребрами тетраэдра. Для этого введем векторный базис с началом в точке $A$. Пусть $\vec{AB} = \mathbf{b}$, $\vec{AC} = \mathbf{c}$, $\vec{AD} = \mathbf{d}$. Тогда координаты точек $M$ и $N$:
$M$ — середина $BC$, поэтому $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\mathbf{b} + \mathbf{c})$.
$N$ — середина $AD$, поэтому $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{d}$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $A$ (начало координат), содержит вектор $\vec{AM}$ и параллельна вектору $\vec{BN} = \vec{AN} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}$. Таким образом, уравнение плоскости $\alpha$ в векторной форме: $\vec{r} = s\vec{AM} + t\vec{BN}$, где $s$ и $t$ — параметры.
$\vec{r} = s\left(\frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{c}\right) + t\left(\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}\right) = \left(\frac{s}{2} - t\right)\mathbf{b} + \frac{s}{2}\mathbf{c} + \frac{t}{2}\mathbf{d}$.

Найдем точку пересечения $P$ плоскости $\alpha$ с ребром $CD$. Точка $P$ лежит на отрезке $CD$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{AP}$ можно представить как $\vec{AP} = (1-k)\vec{AC} + k\vec{AD} = (1-k)\mathbf{c} + k\mathbf{d}$ для некоторого $k \in [0, 1]$. Приравняем выражения для радиус-вектора точки $P$:
$\left(\frac{s}{2} - t\right)\mathbf{b} + \frac{s}{2}\mathbf{c} + \frac{t}{2}\mathbf{d} = (1-k)\mathbf{c} + k\mathbf{d}$.
Так как векторы $\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ линейно независимы, приравняем коэффициенты при них:
$\begin{cases} \frac{s}{2} - t = 0 \\ \frac{s}{2} = 1-k \\ \frac{t}{2} = k \end{cases}$
Из первого уравнения $s = 2t$. Подставим в третье: $t = 2k$. Тогда $s = 4k$. Подставим $s$ во второе уравнение: $\frac{4k}{2} = 1-k \Rightarrow 2k = 1-k \Rightarrow 3k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{3}$.
Поскольку $k = \frac{1}{3} \in [0, 1]$, точка $P$ действительно лежит на ребре $CD$.
Отношение, в котором точка $P$ делит ребро $CD$, равно $CP:PD = k : (1-k) = \frac{1}{3} : \frac{2}{3} = 1:2$.

Можно показать, что плоскость $\alpha$ не пересекает ребра $BD$ внутри отрезка. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $AMP$.
Ответ: Сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$ есть треугольник $AMP$, где $P$ — точка на ребре $CD$, делящая его в отношении $CP:PD = 1:2$.

Плоскость $\beta$ содержит прямую $BN$ и параллельна прямой $AM$. Эта задача симметрична предыдущей. Сечение проходит через точки $B$ и $N$. Найдем третью вершину сечения, которая должна лежать на одном из ребер, выходящих из вершин $A, C, D$. По аналогии с предыдущим случаем, можно предположить, что третья вершина $Q$ лежит на ребре $CD$.

Плоскость $\beta$ проходит через точку $B$ и параллельна векторам $\vec{BN}$ и $\vec{AM}$. Уравнение плоскости $\beta$: $\vec{r} = \vec{AB} + s\vec{BN} + t\vec{AM}$.
$\vec{r} = \mathbf{b} + s\left(\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}\right) + t\left(\frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{c}\right) = \left(1-s+\frac{t}{2}\right)\mathbf{b} + \frac{t}{2}\mathbf{c} + \frac{s}{2}\mathbf{d}$.

Найдем точку пересечения $Q$ плоскости $\beta$ с ребром $CD$. Радиус-вектор точки $Q$: $\vec{AQ} = (1-k)\vec{AC} + k\vec{AD} = (1-k)\mathbf{c} + k\mathbf{d}$ для $k \in [0, 1]$. Приравняем выражения для радиус-вектора точки $Q$:
$\left(1-s+\frac{t}{2}\right)\mathbf{b} + \frac{t}{2}\mathbf{c} + \frac{s}{2}\mathbf{d} = (1-k)\mathbf{c} + k\mathbf{d}$.
Приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получаем систему:
$\begin{cases} 1-s+\frac{t}{2} = 0 \\ \frac{t}{2} = 1-k \\ \frac{s}{2} = k \end{cases}$
Из третьего уравнения $s = 2k$. Из второго $t = 2(1-k)$. Подставим в первое уравнение:
$1 - 2k + \frac{2(1-k)}{2} = 0 \Rightarrow 1 - 2k + 1 - k = 0 \Rightarrow 2 - 3k = 0 \Rightarrow k = \frac{2}{3}$.
Поскольку $k = \frac{2}{3} \in [0, 1]$, точка $Q$ лежит на ребре $CD$.
Отношение, в котором точка $Q$ делит ребро $CD$, равно $CQ:QD = k : (1-k) = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2:1$.

Сечение представляет собой треугольник $BNQ$.
Ответ: Сечение тетраэдра плоскостью $\beta$ есть треугольник $BNQ$, где $Q$ — точка на ребре $CD$, делящая его в отношении $CQ:QD = 2:1$.