Номер 6.39, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.39. Точки $A, B, C, D, E, F$ таковы, что $AB \parallel DE, BC \parallel EF, CD \parallel FA$. Известно, что не все указанные точки принадлежат одной плоскости.Докажите, что $AB = DE, BC = EF, CD = FA$.

Введем векторы, соответствующие отрезкам. Так как по условию $AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$ и $CD \parallel FA$, то существуют ненулевые действительные числа $k_1, k_2, k_3$, такие что:

$\overrightarrow{AB} = k_1 \overrightarrow{DE}$

$\overrightarrow{BC} = k_2 \overrightarrow{EF}$

$\overrightarrow{CD} = k_3 \overrightarrow{FA}$

Наша задача — доказать, что модули этих коэффициентов равны единице, то есть $|k_1|=1, |k_2|=1, |k_3|=1$, так как это будет означать равенство длин соответствующих отрезков.

Рассмотрим замкнутую ломаную $ABCDA$. Сумма векторов, образующих эту ломаную, равна нулевому вектору:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$

Подставим в это равенство выражения для векторов $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}$:

$k_1 \overrightarrow{DE} + k_2 \overrightarrow{EF} + k_3 \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$

Вектор $\overrightarrow{DA}$ можно выразить через векторы, образующие ломаную $DEFA$:

$\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FA}$

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$k_1 \overrightarrow{DE} + k_2 \overrightarrow{EF} + k_3 \overrightarrow{FA} + (\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FA}) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах:

$(k_1 + 1)\overrightarrow{DE} + (k_2 + 1)\overrightarrow{EF} + (k_3 + 1)\overrightarrow{FA} = \vec{0}$

Теперь воспользуемся условием, что не все точки $A, B, C, D, E, F$ лежат в одной плоскости. Докажем от противного, что векторы $\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{FA}$ не являются компланарными (не лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях).

Предположим, что векторы $\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{FA}$ компланарны. Это означает, что точки $D, E, F, A$ лежат в одной плоскости (назовем ее $\pi$).

Рассмотрим положение точек $B$ и $C$.

Из равенства $\overrightarrow{AB} = k_1 \overrightarrow{DE}$ следует, что вектор $\overrightarrow{AB}$ параллелен плоскости $\pi$. Поскольку точка $A$ принадлежит плоскости $\pi$, то и точка $B$ также должна принадлежать этой плоскости.

Аналогично, из равенства $\overrightarrow{BC} = k_2 \overrightarrow{EF}$ следует, что вектор $\overrightarrow{BC}$ параллелен плоскости $\pi$. Поскольку мы установили, что точка $B$ принадлежит плоскости $\pi$, то и точка $C$ также должна принадлежать этой плоскости.

Таким образом, если точки $D, E, F, A$ лежат в одной плоскости, то и точки $B$ и $C$ лежат в той же плоскости. То есть все шесть точек $A, B, C, D, E, F$ лежат в одной плоскости $\pi$. Но это противоречит условию задачи.

Следовательно, наше предположение неверно, и векторы $\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{FA}$ не являются компланарными. А раз так, то они линейно независимы.

Линейная комбинация некомпланарных векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все ее коэффициенты равны нулю. Из уравнения $(k_1 + 1)\overrightarrow{DE} + (k_2 + 1)\overrightarrow{EF} + (k_3 + 1)\overrightarrow{FA} = \vec{0}$ следует, что:

$k_1 + 1 = 0 \implies k_1 = -1$

$k_2 + 1 = 0 \implies k_2 = -1$

$k_3 + 1 = 0 \implies k_3 = -1$

Теперь вернемся к исходным векторным равенствам и найдем длины отрезков:

1. $\overrightarrow{AB} = -1 \cdot \overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{DE}$. Отсюда, взяв модуль (длину) от обеих частей, получаем: $|\overrightarrow{AB}| = |-\overrightarrow{DE}| = |\overrightarrow{DE}|$, то есть $AB = DE$.

2. $\overrightarrow{BC} = -1 \cdot \overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{EF}$. Отсюда $|\overrightarrow{BC}| = |-\overrightarrow{EF}| = |\overrightarrow{EF}|$, то есть $BC = EF$.

3. $\overrightarrow{CD} = -1 \cdot \overrightarrow{FA} = -\overrightarrow{FA}$. Отсюда $|\overrightarrow{CD}| = |-\overrightarrow{FA}| = |\overrightarrow{FA}|$, то есть $CD = FA$.

Таким образом, мы доказали требуемые равенства.

Ответ: Что и требовалось доказать.