Номер 6.44, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.44. На рёбрах $BC$ и $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $BM = MC, A_1N : ND_1 = 1 : 3$.

1) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $N$ и параллельной плоскости $AB_1M$.

2) В каком отношении секущая плоскость делит ребро $B_1C_1$, считая от точки $B_1$?

1) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку N и параллельной плоскости AB₁M.

Обозначим искомую секущую плоскость как $\alpha$, а плоскость, которой она параллельна, как $\beta = (AB_1M)$. Построение сечения основано на свойстве параллельных плоскостей: если две плоскости параллельны, то их линии пересечения с третьей плоскостью также параллельны.

Построение выполняется по шагам:

1. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $N$, лежащую в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Так как верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с верхней гранью должна быть параллельна линии пересечения плоскости $\beta$ с нижней гранью. Линия пересечения $\beta$ с гранью $ABCD$ — это отрезок $AM$.
   Проведем в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ через точку $N$ прямую, параллельную $AM$. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке $K$. Отрезок $NK$ — это одна из сторон искомого сечения.
2. Точка $K$ лежит в боковой грани $BCC_1B_1$. Линия пересечения плоскости $\beta$ с этой гранью — это отрезок $B_1M$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной $B_1M$.
   Проведем в плоскости $BCC_1B_1$ через точку $K$ прямую, параллельную $B_1M$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке $L$. Отрезок $KL$ — вторая сторона сечения.
3. Точка $L$ лежит в задней грани $CDD_1C_1$. Эта грань параллельна передней грани $ABB_1A_1$. Линия пересечения плоскости $\beta$ с передней гранью — это отрезок $AB_1$. Значит, плоскость $\alpha$ пересекает заднюю грань по прямой, проходящей через точку $L$ и параллельной $AB_1$.
   Проведем в плоскости $CDD_1C_1$ через точку $L$ прямую, параллельную $AB_1$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке $P$. Отрезок $LP$ — третья сторона сечения.
4. Точка $N$ лежит в левой боковой грани $ADD_1A_1$. Эта грань параллельна правой боковой грани $BCC_1B_1$. Линия пересечения плоскости $\beta$ с правой гранью — это $B_1M$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает левую грань по прямой, проходящей через точку $N$ и параллельной $B_1M$.
   Проведем в плоскости $ADD_1A_1$ через точку $N$ прямую, параллельную $B_1M$. Эта прямая пересечет ребро $AD$ в некоторой точке $Q$. Отрезок $NQ$ — четвертая сторона сечения.
5. Точки $P$ и $Q$ лежат в нижней грани $ABCD$. Соединим их отрезком $PQ$, который является пятой стороной сечения.

Таким образом, построенное сечение представляет собой пятиугольник $NKLPQ$.

Ответ: Искомое сечение — это пятиугольник $NKLPQ$, вершины которого лежат на ребрах куба: $N \in A_1D_1$, $K \in B_1C_1$, $L \in CC_1$, $P \in CD$, $Q \in AD$.

2) В каком отношении секущая плоскость делит ребро B₁C₁, считая от точки B₁?

Чтобы найти отношение, в котором точка $K$ делит ребро $B_1C_1$, воспользуемся методом координат. Пусть ребро куба равно $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Точка $M$ — середина ребра $BC$. Координаты $B(a,0,0)$ и $C(a,a,0)$, значит $M(a, a/2, 0)$.

Точка $N$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1N : ND_1 = 1:3$. Координаты $A_1(0,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$.
Координаты точки $N$ можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:
$N = \frac{3A_1 + 1D_1}{3+1} = \frac{3(0,0,a) + 1(0,a,a)}{4} = (0, a/4, a)$.

Плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку $N$ и параллельна плоскости $\beta = (AB_1M)$. Составим уравнение плоскости $\beta$.
Найдем векторы, лежащие в плоскости $\beta$: $\vec{AB_1} = (a, 0, a)$ и $\vec{AM} = (a, a/2, 0)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\beta$ найдем как векторное произведение:$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ a & a/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - a \cdot a/2) - \mathbf{j}(a \cdot 0 - a \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a/2 - 0 \cdot a) = (-a^2/2, a^2, a^2/2)$.
В качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор, например, $(-1, 2, 1)$.
Уравнение плоскости $\beta$ имеет вид $-x+2y+z+D=0$. Так как она проходит через $A(0,0,0)$, то $D=0$. Уравнение $\beta$: $-x+2y+z=0$.

Плоскость $\alpha$ параллельна $\beta$, поэтому ее уравнение имеет вид $-x+2y+z+C=0$. Она проходит через точку $N(0, a/4, a)$, подставим ее координаты:
$-(0) + 2(a/4) + a + C = 0 \Rightarrow a/2 + a + C = 0 \Rightarrow C = -3a/2$.
Уравнение секущей плоскости $\alpha$: $-x+2y+z - 3a/2 = 0$.

Теперь найдем точку $K$ — точку пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $B_1C_1$.
Ребро $B_1C_1$ задается уравнениями $x=a$, $z=a$, при $0 \le y \le a$.
Подставим $x=a$ и $z=a$ в уравнение плоскости $\alpha$:
$-a + 2y + a - 3a/2 = 0 \Rightarrow 2y = 3a/2 \Rightarrow y = 3a/4$.
Координаты точки $K$ равны $(a, 3a/4, a)$.

Точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ (концы $B_1(a,0,a)$ и $C_1(a,a,a)$) в отношении $B_1K:KC_1$. Длины отрезков можно найти по изменению координаты $y$:
$B_1K = y_K - y_{B_1} = 3a/4 - 0 = 3a/4$.
$KC_1 = y_{C_1} - y_K = a - 3a/4 = a/4$.
Искомое отношение: $B_1K:KC_1 = \frac{3a/4}{a/4} = 3:1$.

Ответ: $3:1$.