Номер 6.42, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.42. На ребре $AD$ и диагонали $CA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что прямая $MN$ параллельна плоскости $BC_1D$. Найдите отношение $CN : NA_1$, если известно, что $AM : MD = 1 : 4$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями $x, y, z$, направленными вдоль ребер $AB, AD$ и $AA_1$ соответственно. Для удобства вычислений примем длину ребра куба равной 5, так как в условии дано отношение $AM:MD=1:4$.

В этой системе координат вершины и точки будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $D(0, 5, 0)$
• $C(5, 5, 0)$
• $A_1(0, 0, 5)$
• $B(5, 0, 0)$
• $C_1(5, 5, 5)$

По условию, точка $M$ лежит на ребре $AD$ и $AM:MD=1:4$. Поскольку длина ребра $AD$ равна 5, то $AM=1$. Таким образом, координаты точки $M$ — это $(0, 1, 0)$.

Точка $N$ лежит на диагонали $CA_1$. Пусть искомое отношение $CN : NA_1 = \lambda$. Тогда координаты точки $N$ можно выразить через координаты точек $C$ и $A_1$ с помощью формулы деления отрезка в данном отношении:

$\vec{N} = \frac{1}{1+\lambda}\vec{C} + \frac{\lambda}{1+\lambda}\vec{A_1}$

Подставим координаты $C(5, 5, 0)$ и $A_1(0, 0, 5)$:

$N = \left( \frac{1 \cdot 5 + \lambda \cdot 0}{1+\lambda}, \frac{1 \cdot 5 + \lambda \cdot 0}{1+\lambda}, \frac{1 \cdot 0 + \lambda \cdot 5}{1+\lambda} \right) = \left( \frac{5}{1+\lambda}, \frac{5}{1+\lambda}, \frac{5\lambda}{1+\lambda} \right)$.

Теперь найдем вектор $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \left( \frac{5}{1+\lambda} - 0, \frac{5}{1+\lambda} - 1, \frac{5\lambda}{1+\lambda} - 0 \right) = \left( \frac{5}{1+\lambda}, \frac{5 - (1+\lambda)}{1+\lambda}, \frac{5\lambda}{1+\lambda} \right) = \left( \frac{5}{1+\lambda}, \frac{4-\lambda}{1+\lambda}, \frac{5\lambda}{1+\lambda} \right)$.

По условию, прямая $MN$ параллельна плоскости $BC_1D$. Это означает, что вектор $\vec{MN}$ должен быть ортогонален (перпендикулярен) вектору нормали к плоскости $BC_1D$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости, проходящей через точки $B(5, 0, 0)$, $C_1(5, 5, 5)$ и $D(0, 5, 0)$. Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{DB} = \vec{B} - \vec{D} = (5-0, 0-5, 0-0) = (5, -5, 0)$.

$\vec{DC_1} = \vec{C_1} - \vec{D} = (5-0, 5-5, 5-0) = (5, 0, 5)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ равен их векторному произведению:

$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -5 & 0 \\ 5 & 0 & 5 \end{vmatrix} = (-25)\mathbf{i} - (25)\mathbf{j} + (25)\mathbf{k} = (-25, -25, 25)$.

Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив $\vec{n}$ на $-25$. Получим вектор нормали $\vec{n'} = (1, 1, -1)$.

Условие ортогональности векторов $\vec{MN}$ и $\vec{n'}$ — это равенство их скалярного произведения нулю: $\vec{MN} \cdot \vec{n'} = 0$.

$\left( \frac{5}{1+\lambda} \right) \cdot 1 + \left( \frac{4-\lambda}{1+\lambda} \right) \cdot 1 + \left( \frac{5\lambda}{1+\lambda} \right) \cdot (-1) = 0$.

Так как $N$ — точка отрезка, $1+\lambda \neq 0$. Мы можем умножить уравнение на $1+\lambda$:

$5 \cdot 1 + (4-\lambda) \cdot 1 + 5\lambda \cdot (-1) = 0$.

$5 + 4 - \lambda - 5\lambda = 0$.

$9 - 6\lambda = 0$.

$6\lambda = 9$.

$\lambda = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Мы определили $\lambda$ как искомое отношение $CN : NA_1$.

Ответ: $3:2$.