Вопросы, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Опишите, в каком случае говорят, что фигура $F_1$ получена в результате преобразования фигуры $F$.

2. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным переносом.

3. Опишите преобразование фигуры, которое называют центральной симметрией.

4. Какое преобразование фигуры называют движением?

5. Какие фигуры называют равными?

6. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием.

7. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельного проектирования.

1. Опишите, в каком случае говорят, что фигура $F_1$ получена в результате преобразования фигуры $F$.

Говорят, что фигура $F_1$ получена в результате преобразования фигуры $F$, если установлено правило (закон), по которому каждой точке фигуры $F$ ставится в соответствие единственная точка пространства. Совокупность всех таких соответственных точек образует фигуру $F_1$. При этом каждая точка фигуры $F_1$ является образом некоторой точки фигуры $F$. Такое соответствие между точками и называют преобразованием фигуры $F$ в фигуру $F_1$.

Ответ: Фигура $F_1$ получена из фигуры $F$ в результате преобразования, если каждой точке фигуры $F$ по определенному правилу сопоставлена некоторая точка, и совокупность этих точек образует фигуру $F_1$.

2. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным переносом.

Параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называется такое преобразование, при котором любая точка $M$ фигуры переходит в такую точку $M_1$, что вектор $\vec{MM_1}$ равен заданному вектору $\vec{a}$. Это означает, что все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние, равное длине вектора $\vec{a}$. Если точка $M$ имеет координаты $(x, y, z)$, а вектор $\vec{a}$ — координаты $(a_1, a_2, a_3)$, то точка $M_1$ будет иметь координаты $(x+a_1, y+a_2, z+a_3)$.

Ответ: Параллельный перенос – это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

3. Опишите преобразование фигуры, которое называют центральной симметрией.

Центральной симметрией относительно точки $O$ (называемой центром симметрии) называется такое преобразование, при котором любая точка $M$ фигуры переходит в точку $M_1$ таким образом, что точка $O$ является серединой отрезка $MM_1$. Это эквивалентно векторному равенству $\vec{OM_1} = -\vec{OM}$. Сам центр симметрии $O$ при этом преобразовании остается на месте (переходит в себя).

Ответ: Центральная симметрия относительно точки $O$ – это преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры отображается на точку $M_1$ так, что $O$ является серединой отрезка $MM_1$.

4. Какое преобразование фигуры называют движением?

Движением (или изометрией) называется преобразование фигуры, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя ее точками. То есть, если произвольные точки $A$ и $B$ фигуры при движении переходят в точки $A_1$ и $B_1$ соответственно, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A_1B_1$: $|AB| = |A_1B_1|$. Примерами движения являются параллельный перенос, центральная симметрия, осевая симметрия и поворот.

Ответ: Движение – это преобразование фигуры, сохраняющее расстояния между точками.

5. Какие фигуры называют равными?

Две фигуры в пространстве (или на плоскости) называются равными, если существует движение (изометрическое преобразование), которое переводит одну фигуру в другую. Это означает, что фигуры можно совместить друг с другом путем перемещения, поворота или отражения, не изменяя их формы и размеров.

Ответ: Равными называют фигуры, которые можно совместить друг с другом при помощи движения.

6. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием.

Параллельным проектированием называется отображение точек пространства на некоторую плоскость $\pi$ (плоскость проекций) вдоль заданного направления. Направление задается прямой $l$, пересекающей плоскость $\pi$. Проекцией точки $M$ на плоскость $\pi$ является точка $M'$ — точка пересечения плоскости $\pi$ с прямой, проходящей через точку $M$ параллельно прямой $l$. Преобразование, при котором каждой точке фигуры ставится в соответствие ее параллельная проекция на плоскость $\pi$, и называется параллельным проектированием фигуры.

Ответ: Параллельное проектирование – это способ изображения пространственной фигуры на плоскости, при котором все точки фигуры переносятся на эту плоскость вдоль параллельных прямых.

7. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельного проектирования.

Основные свойства параллельного проектирования выражаются следующими теоремами:

• Теорема о проекции прямой: Проекцией прямой на плоскость является прямая. Исключение составляет случай, когда сама прямая параллельна направлению проектирования — тогда ее проекцией будет точка.
• Теорема о проекции параллельных прямых: Если две прямые параллельны, то их параллельные проекции на одну и ту же плоскость либо параллельны, либо совпадают.
• Теорема о сохранении отношения длин отрезков: При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых. То есть, если отрезки $AB$ и $CD$ лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), а $A'B'$ и $C'D'$ — их проекции, то выполняется равенство $\frac{|A'B'|}{|C'D'|} = \frac{|AB|}{|CD|}$. Важным следствием этой теоремы является то, что середина отрезка проектируется в середину проекции этого отрезка.

Ответ: Свойства параллельного проектирования: 1) проекция прямой есть прямая (или точка); 2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают; 3) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется.