Номер 7.5, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.5. Какая геометрическая фигура не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых:

1) две параллельные прямые;

2) две пересекающиеся прямые;

3) прямая;

4) прямая и точка вне её?

Рассмотрим возможные варианты параллельной проекции двух скрещивающихся прямых $a$ и $b$ на некоторую плоскость $P$ в направлении $s$. Проекцией прямой является либо прямая (если направление проецирования не параллельно прямой), либо точка (если направление проецирования параллельно прямой). Проекция всей фигуры (двух прямых) есть объединение проекций ее частей.

1) две параллельные прямые

Да, это возможно. Пусть даны скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проведем плоскость $\alpha$, параллельную прямой $b$. Такая плоскость единственна. Выберем направление проецирования $s$, параллельное плоскости $\alpha$, но не параллельное прямой $a$. Проецирующая плоскость для прямой $a$ (плоскость, проходящая через $a$ параллельно $s$) совпадет с плоскостью $\alpha$. Проецирующая плоскость для прямой $b$ (плоскость $\beta$, проходящая через $b$ параллельно $s$) будет параллельна плоскости $\alpha$, так как и прямая $b$, и направление $s$ параллельны $\alpha$. При проецировании на плоскость $P$, не параллельную плоскостям $\alpha$ и $\beta$, их линии пересечения с $P$ (проекции $a'$ и $b'$) будут параллельными прямыми.

2) две пересекающиеся прямые

Да, это возможно. Пусть $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые. Выберем на прямой $a$ точку $A$, а на прямой $b$ точку $B$. Зададим направление проецирования $s$ параллельно отрезку $AB$. Тогда точки $A$ и $B$ спроецируются в одну и ту же точку $M'$ на плоскости проекции $P$. Так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не могут быть обе параллельны отрезку $AB$. Поэтому их проекции $a'$ и $b'$ будут прямыми. Поскольку $A \in a$, то $M' \in a'$. Поскольку $B \in b$, то $M' \in b'$. Следовательно, прямые $a'$ и $b'$ пересекаются в точке $M'$.

3) прямая

Нет, это невозможно. Чтобы проекцией двух скрещивающихся прямых $a$ и $b$ была одна прямая, необходимо, чтобы объединение их проекций $a' \cup b'$ образовывало одну прямую. Это может произойти в двух случаях:
а) Проекции $a'$ и $b'$ совпадают. Это означало бы, что обе прямые $a$ и $b$ лежат в одной проецирующей плоскости. Но если две прямые лежат в одной плоскости, они либо параллельны, либо пересекаются, что противоречит условию, что они скрещивающиеся.
б) Проекция одной из прямых, например $b$, является точкой $B'$, которая лежит на проекции другой прямой $a'$. Для того чтобы проекция прямой $b$ была точкой, направление проецирования $s$ должно быть параллельно прямой $b$. Для того чтобы точка $B'$ лежала на прямой $a'$, необходимо, чтобы существовала точка $A$ на прямой $a$ такая, что отрезок $AB$ параллелен направлению проецирования $s$. То есть, нужно чтобы $AB \parallel b$. Но если $A \in a, B \in b$ и $AB \parallel b$, то прямые $a$ и $b$ должны лежать в одной плоскости (определяемой точкой $A$ и прямой $b$), то есть пересекаться или быть параллельными. Это снова противоречит условию, что прямые скрещиваются.Следовательно, проекция двух скрещивающихся прямых не может быть одной прямой.

4) прямая и точка вне её

Да, это возможно. Выберем направление проецирования $s$ параллельно одной из прямых, например, прямой $b$. Тогда проекцией прямой $b$ будет точка $B'$. Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещиваются, прямая $a$ не параллельна прямой $b$, а значит, и направлению $s$. Следовательно, проекцией прямой $a$ будет прямая $a'$. Как было доказано в пункте 3), точка $B'$ не может лежать на прямой $a'$. Таким образом, мы получаем в проекции прямую и точку вне её.

Из рассмотренных вариантов только одна прямая не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.

Ответ: 3) прямая.