Номер 7.4, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.4. Может ли параллельной проекцией двух пересекающихся прямых быть: 1) две пересекающиеся прямые; 2) параллельные прямые; 3) одна прямая; 4) прямая и точка вне её?

Пусть даны две пересекающиеся в точке $M$ прямые $a$ и $b$. Эти прямые определяют в пространстве единственную плоскость $\alpha$. Пусть параллельное проектирование осуществляется на плоскость проекций $\beta$ в направлении, задаваемом прямой $l$.

1) две пересекающиеся прямые

Да, это возможно.
Это наиболее общий случай. Если направление проектирования $l$ не параллельно плоскости $\alpha$, в которой лежат исходные прямые $a$ и $b$, то оно не будет параллельно ни одной из этих прямых. В этом случае проекцией прямой $a$ будет прямая $a'$, а проекцией прямой $b$ — прямая $b'$. Точка пересечения $M$ принадлежит обеим прямым, поэтому ее проекция $M'$ будет принадлежать обеим проекциям $a'$ и $b'$, то есть будет их точкой пересечения. Таким образом, проекцией будут две пересекающиеся прямые.
Ответ: Да, может.

2) параллельные прямые

Нет, это невозможно.
При параллельном проектировании, если проекциями являются две различные прямые, то точка пересечения исходных прямых ($M$) проецируется в точку пересечения их проекций ($M'$). Параллельные прямые по определению не имеют точек пересечения. Так как у проекций $a'$ и $b'$ есть общая точка $M'$, они не могут быть параллельными.
Ответ: Нет, не может.

3) одна прямая

Да, это возможно.
Если направление проектирования $l$ параллельно плоскости $\alpha$, в которой лежат пересекающиеся прямые $a$ и $b$ (при этом $l$ не параллельна ни $a$, ни $b$), то вся плоскость $\alpha$ вместе с находящимися в ней прямыми спроецируется на одну прямую в плоскости $\beta$. Следовательно, проекции $a'$ и $b'$ совпадут.
Ответ: Да, может.

4) прямая и точка вне её

Нет, это невозможно.
Чтобы проекцией одной из прямых, например $b$, была точка, направление проектирования $l$ должно быть параллельно этой прямой ($l \parallel b$). Поскольку прямые $a$ и $b$ пересекаются, то $a$ не параллельна $b$, и, следовательно, не параллельна направлению проектирования $l$. Значит, проекцией прямой $a$ будет прямая $a'$.
Точка пересечения $M$ принадлежит обеим прямым. Ее проекция $M'$ должна принадлежать проекции каждой из них. Так как $M \in b$, ее проекция $M'$ совпадает с точкой, являющейся проекцией всей прямой $b$. Так как $M \in a$, ее проекция $M'$ должна лежать на прямой $a'$, которая является проекцией прямой $a$. Следовательно, точка-проекция всегда лежит на прямой-проекции. Получить прямую и точку вне её невозможно.
Ответ: Нет, не может.