Номер 6.45, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.45. На рёбрах $BC$ и $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $A_1M : MD_1 = 1 : 5$, $BN : NC = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $N$ и параллельная плоскости $AB_1M$, пересекает прямую $DC$ в точке $K$.

1) Постройте сечение куба плоскостью $\alpha$.

2) Найдите отношение $KD : KC$.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Введем систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$. Тогда вершины куба имеют координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$. $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$, $D_1(0,a,a)$, $C_1(a,a,a)$.

Найдем координаты точек $M$ и $N$. Точка $M$ лежит на ребре $A_1D_1$ и делит его в отношении $A_1M : MD_1 = 1:5$. Координаты $A_1(0,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$. $M = \frac{5}{6}A_1 + \frac{1}{6}D_1 = (\frac{5}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot 0, \frac{5}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot a, \frac{5}{6} \cdot a + \frac{1}{6} \cdot a) = (0, \frac{a}{6}, a)$.

Точка $N$ лежит на ребре $BC$ и делит его в отношении $BN : NC = 1:2$. Координаты $B(a,0,0)$ и $C(a,a,0)$. $N = \frac{2}{3}B + \frac{1}{3}C = (\frac{2}{3} \cdot a + \frac{1}{3} \cdot a, \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot a, \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0) = (a, \frac{a}{3}, 0)$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $N$ и параллельна плоскости $(AB_1M)$. Найдем уравнение плоскости $(AB_1M)$. Составим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AM}$: $\vec{AB_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$. $\vec{AM} = (0-0, \frac{a}{6}-0, a-0) = (0, \frac{a}{6}, a)$. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $(AB_1M)$ найдем как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AM}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a/6 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - a \cdot \frac{a}{6}) - \mathbf{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot \frac{a}{6} - 0 \cdot 0) = (-\frac{a^2}{6}, -a^2, \frac{a^2}{6})$. В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор $(1, 6, -1)$. Уравнение плоскости $(AB_1M)$, проходящей через $A(0,0,0)$, имеет вид: $1 \cdot (x-0) + 6 \cdot (y-0) - 1 \cdot (z-0) = 0 \Rightarrow x + 6y - z = 0$.

Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(AB_1M)$, поэтому ее уравнение имеет вид $x + 6y - z + D = 0$. Так как $\alpha$ проходит через точку $N(a, \frac{a}{3}, 0)$, подставим ее координаты в уравнение: $a + 6(\frac{a}{3}) - 0 + D = 0 \Rightarrow a + 2a + D = 0 \Rightarrow D = -3a$. Итак, уравнение плоскости $\alpha$: $x + 6y - z - 3a = 0$.

Для построения сечения найдем точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами куба.

1. Точка $N(a, a/3, 0)$ лежит на ребре $BC$ и является одной из вершин сечения.

2. Найдем точку пересечения $\alpha$ с ребром $B_1C_1$. Ребро $B_1C_1$ задается уравнениями $x=a, z=a$. Подставляем в уравнение плоскости $\alpha$: $a + 6y - a - 3a = 0 \Rightarrow 6y = 3a \Rightarrow y = a/2$. Точка $P(a, a/2, a)$ лежит на ребре $B_1C_1$, так как $0 \le a/2 \le a$. Отрезок $NP$ — сторона сечения.

3. Найдем точку пересечения $\alpha$ с ребром $A_1D_1$. Ребро $A_1D_1$ задается уравнениями $x=0, z=a$. Подставляем в уравнение плоскости $\alpha$: $0 + 6y - a - 3a = 0 \Rightarrow 6y = 4a \Rightarrow y = 2a/3$. Точка $Q(0, 2a/3, a)$ лежит на ребре $A_1D_1$, так как $0 \le 2a/3 \le a$. Отрезок $PQ$ — сторона сечения.

4. Найдем точку пересечения $\alpha$ с ребром $AD$. Ребро $AD$ задается уравнениями $x=0, z=0$. Подставляем в уравнение плоскости $\alpha$: $0 + 6y - 0 - 3a = 0 \Rightarrow 6y = 3a \Rightarrow y = a/2$. Точка $R(0, a/2, 0)$ лежит на ребре $AD$, так как $0 \le a/2 \le a$. Отрезок $QR$ — сторона сечения.

5. Соединяем точку $R(0, a/2, 0)$ с точкой $N(a, a/3, 0)$. Обе точки лежат в плоскости основания $ABCD$ ($z=0$), и их координаты удовлетворяют уравнению $x+6y-3a=0$. Отрезок $RN$ — последняя сторона сечения.

Таким образом, сечение куба плоскостью $\alpha$ является четырехугольник $NPQR$.

Построение можно также выполнить, используя свойства параллельных плоскостей:

• Плоскости граней $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ параллельны. Плоскость $(AB_1M)$ пересекает грань $ADD_1A_1$ по прямой $AM$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой, проходящей через $N$ и параллельной $AM$ (в векторном смысле). Эта прямая пересекает ребро $B_1C_1$ в точке $P$.
• Плоскости граней $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ параллельны. Плоскость $(AB_1M)$ пересекает грань $A_1B_1C_1D_1$ по прямой $B_1M$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает грань $A_1B_1C_1D_1$ по прямой, проходящей через $P$ и параллельной $B_1M$. Эта прямая пересекает ребро $A_1D_1$ в точке $Q$.
• Далее аналогично строятся отрезки $QR$ и $RN$, замыкающие сечение.

Ответ: Сечение куба представляет собой четырехугольник $NPQR$, где $P$ - точка на ребре $B_1C_1$, $Q$ - точка на ребре $A_1D_1$, $R$ - точка на ребре $AD$.

Точка $K$ является точкой пересечения плоскости $\alpha$ с прямой $DC$. Прямая $DC$ лежит в плоскости основания $ABCD$ ($z=0$) и на ней координата $y=a$. Подставим $y=a$ и $z=0$ в уравнение плоскости $\alpha$: $x + 6a - 0 - 3a = 0 \Rightarrow x = -3a$. Таким образом, точка $K$ имеет координаты $(-3a, a, 0)$.

Точки $D$ и $C$ имеют координаты $D(0, a, 0)$ и $C(a, a, 0)$. Все три точки $K, D, C$ лежат на одной прямой $y=a, z=0$. Их взаимное расположение определяется координатой $x$: $x_K = -3a$, $x_D = 0$, $x_C = a$. Точка $D$ лежит между $K$ и $C$.

Найдем длины отрезков $KD$ и $KC$: $KD = |x_D - x_K| = |0 - (-3a)| = 3a$. $KC = |x_C - x_K| = |a - (-3a)| = 4a$.

Тогда искомое отношение: $KD : KC = 3a : 4a = 3 : 4$.

Альтернативное решение (геометрическое):
Точка $K$ — это точка пересечения следа плоскости $\alpha$ на плоскости $ABCD$ с прямой $DC$. След плоскости $\alpha$ на плоскости $ABCD$ — это прямая $RN$. Таким образом, точка $K$ — это точка пересечения прямых $RN$ и $DC$.

Рассмотрим плоскость $ABCD$. Точка $R$ лежит на ребре $AD$. Из пункта 1) мы нашли, что ее координата $y=a/2$ (при $x=0, z=0$), значит, $R$ — середина ребра $AD$. Точка $N$ лежит на ребре $BC$ и делит его в отношении $BN:NC=1:2$.

Так как $AD \perp DC$ и $BC \perp DC$, то отрезки $RD$ и $NC$ (если рассматривать $N$ и $R$ как точки на плоскости $ABCD$) являются перпендикулярами к прямой $DC$. Длина $RD = AD - AR = a - a/2 = a/2$. Длина $NC = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3}a$.

Рассмотрим треугольники $\triangle KDR$ и $\triangle KCN$. Они оба прямоугольные (углы $\angle KDR$ и $\angle KCN$ прямые). Угол при вершине $K$ у них общий (так как точки $K, R, N$ лежат на одной прямой). Следовательно, $\triangle KDR \sim \triangle KCN$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KD}{KC} = \frac{RD}{NC}$. Подставим известные длины: $\frac{KD}{KC} = \frac{a/2}{2a/3} = \frac{a}{2} \cdot \frac{3}{2a} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $KD : KC = 3 : 4$.