Номер 6.43, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.43. Основанием призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Точка $M$ — середина ребра $AB$. На диагонали $AC_1$ отметили точку $N$ так, что прямая $MN$ параллельна плоскости $BA_1D$. Найдите отношение $AN : NC_1$, если известно, что $AD : BC = 2 : 1$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базис с началом в точке $A$: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AA_1} = \vec{a}$.

По условию, точка $M$ — середина ребра $AB$, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Основание призмы $ABCD$ — трапеция, в которой $BC \parallel AD$ и $AD : BC = 2 : 1$. Из этого следует, что вектор $\vec{BC}$ коллинеарен вектору $\vec{AD}$ и его длина вдвое меньше, то есть $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{d}$.

Найдем вектор диагонали призмы $\vec{AC_1}$. Он является суммой векторов: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1}$. Так как это призма, $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{a}$.
Таким образом, $\vec{AC_1} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d} + \vec{a}$.

Точка $N$ лежит на диагонали $AC_1$. Это означает, что вектор $\vec{AN}$ коллинеарен вектору $\vec{AC_1}$. Пусть $\frac{AN}{AC_1} = k$, тогда $\vec{AN} = k \cdot \vec{AC_1} = k(\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d})$.

Теперь выразим вектор $\vec{MN}$:
$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = k(\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}) - \frac{1}{2}\vec{b} = k\vec{a} + (k - \frac{1}{2})\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{d}$.

Прямая $MN$ параллельна плоскости $BA_1D$. Это значит, что вектор $\vec{MN}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов, параллельных этой плоскости, например, векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{BD}$, которые лежат в этой плоскости.
Найдем эти векторы:
$\vec{BA_1} = \vec{AA_1} - \vec{AB} = \vec{a} - \vec{b}$
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{d} - \vec{b}$

Условие параллельности прямой и плоскости в векторной форме означает, что существуют такие числа $x$ и $y$, что $\vec{MN} = x \cdot \vec{BA_1} + y \cdot \vec{BD}$.

Подставим векторные выражения:
$k\vec{a} + (k - \frac{1}{2})\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{d} = x(\vec{a} - \vec{b}) + y(\vec{d} - \vec{b})$
$k\vec{a} + (k - \frac{1}{2})\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{d} = x\vec{a} - (x+y)\vec{b} + y\vec{d}$

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{d}$ не компланарны (они образуют базис в пространстве), мы можем приравнять коэффициенты при них в левой и правой частях равенства. Получаем систему уравнений:
1) $k = x$ (коэффициенты при $\vec{a}$)
2) $k - \frac{1}{2} = -(x+y)$ (коэффициенты при $\vec{b}$)
3) $\frac{k}{2} = y$ (коэффициенты при $\vec{d}$)

Подставим выражения для $x$ и $y$ из первого и третьего уравнений во второе:
$k - \frac{1}{2} = -(k + \frac{k}{2})$
$k - \frac{1}{2} = -\frac{3k}{2}$
$k + \frac{3k}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{5k}{2} = \frac{1}{2}$
$5k = 1$
$k = \frac{1}{5}$

Мы получили, что отношение $\frac{AN}{AC_1} = k = \frac{1}{5}$. Это означает, что $AN = \frac{1}{5}AC_1$.
Тогда $NC_1 = AC_1 - AN = AC_1 - \frac{1}{5}AC_1 = \frac{4}{5}AC_1$.
Искомое отношение $AN : NC_1 = (\frac{1}{5}AC_1) : (\frac{4}{5}AC_1) = 1 : 4$.

Ответ: $1 : 4$.