Номер 7.2, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 7.23). При некотором параллельном переносе образом отрезка $BB_1$ является отрезок $CC_1$. Образом какой фигуры при данном параллельном переносе является:

1) точка $D$;

2) отрезок $D_1C$;

3) грань $CC_1D_1D$?

Рис. 7.23

По условию задачи, при параллельном переносе образом отрезка $BB_1$ является отрезок $CC_1$. Это означает, что точка $B$ переходит в точку $C$, а точка $B_1$ — в точку $C_1$.

Параллельный перенос определяется вектором. В данном случае вектор переноса $\vec{v}$ равен вектору $\vec{BC}$, так как образом точки $B$ является точка $C$. То есть, для любой точки $M$ ее образ $M'$ находится из условия $\vec{MM'} = \vec{v} = \vec{BC}$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные ребра параллельны и равны, поэтому справедливы следующие векторные равенства: $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1} = \vec{A_1D_1}$. Также, так как основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны и конгруэнтны, то $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$. Таким образом, вектор переноса можно записать как $\vec{v} = \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{B_1C_1} = \vec{A_1D_1}$.

Вопрос «Образом какой фигуры является [фигура X]?» означает, что необходимо найти прообраз фигуры X, то есть такую фигуру $F$, которая при данном переносе отображается в фигуру $X$.

Требуется найти точку $P$, образом которой при данном переносе является точка $D$. По определению параллельного переноса, для искомой точки $P$ и ее образа $D$ должно выполняться равенство $\vec{PD} = \vec{v}$.

Подставив значение вектора переноса $\vec{v} = \vec{BC}$, получаем: $\vec{PD} = \vec{BC}$.

Как было установлено ранее, для куба справедливо равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$. Заменим $\vec{BC}$ на $\vec{AD}$ в нашем уравнении: $\vec{PD} = \vec{AD}$.

Из равенства векторов с общим концом ($D$) следует, что их начала также совпадают, то есть $P = A$.

Ответ: точка $A$.

Требуется найти отрезок $PQ$, образом которого является отрезок $D_1C$. Это означает, что образами концов отрезка $PQ$ являются концы отрезка $D_1C$. Найдем прообразы точек $D_1$ и $C$.

Пусть $P$ — прообраз точки $D_1$. Тогда $\vec{PD_1} = \vec{v} = \vec{BC}$. В кубе вектор $\vec{A_1D_1}$ равен вектору $\vec{BC}$, следовательно, $\vec{PD_1} = \vec{A_1D_1}$. Из этого равенства следует, что $P = A_1$.

Пусть $Q$ — прообраз точки $C$. Тогда $\vec{QC} = \vec{v} = \vec{BC}$. Из этого равенства следует, что $Q = B$.

Таким образом, прообразом отрезка $D_1C$ является отрезок, соединяющий точки $A_1$ и $B$.

Ответ: отрезок $A_1B$.

Требуется найти фигуру, образом которой является грань $CC_1D_1D$. Так как параллельный перенос является движением, он сохраняет форму и размеры фигур. Следовательно, прообразом грани будет конгруэнтная ей грань. Чтобы найти эту грань, достаточно найти прообразы ее вершин: $C, C_1, D_1, D$.

Найдем прообразы вершин:
- Прообраз точки $C$ — это точка $P_1$ такая, что $\vec{P_1C} = \vec{BC}$. Отсюда $P_1 = B$.
- Прообраз точки $C_1$ — это точка $P_2$ такая, что $\vec{P_2C_1} = \vec{BC}$. Так как $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$, получаем $\vec{P_2C_1} = \vec{B_1C_1}$, откуда $P_2 = B_1$.
- Прообраз точки $D_1$ — это точка $P_3$ такая, что $\vec{P_3D_1} = \vec{BC}$. Так как $\vec{A_1D_1} = \vec{BC}$, получаем $\vec{P_3D_1} = \vec{A_1D_1}$, откуда $P_3 = A_1$.
- Прообраз точки $D$ — это точка $P_4$ такая, что $\vec{P_4D} = \vec{BC}$. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, получаем $\vec{P_4D} = \vec{AD}$, откуда $P_4 = A$.

Прообразами вершин $C, C_1, D_1, D$ являются соответственно точки $B, B_1, A_1, A$. Эти четыре точки образуют грань $ABB_1A_1$.

Ответ: грань $ABB_1A_1$.