Номер 7.6, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.6. 1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков?

2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков?

3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка?

4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?

1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков?

Да, могут. Длина параллельной проекции отрезка зависит не только от его собственной длины, но и от его расположения в пространстве относительно направления и плоскости проецирования. Можно подобрать такие углы, что проекции неравных отрезков окажутся равными.

Например, рассмотрим ортогональное проецирование (частный случай параллельного) на некоторую плоскость $\pi$.

Пусть отрезок $AB$ имеет длину 4 и образует с плоскостью $\pi$ угол $60^\circ$. Длина его проекции $A'B'$ будет равна $4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Пусть другой отрезок $CD$ имеет длину 2 и параллелен плоскости $\pi$ (то есть угол равен $0^\circ$). Длина его проекции $C'D'$ будет равна $2 \cdot \cos(0^\circ) = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, отрезки $AB$ и $CD$ не равны (длины 4 и 2), но их параллельные проекции $A'B'$ и $C'D'$ равны (длина каждой равна 2).

Ответ: Да, могут.

2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков?

Да, могут. Как и в предыдущем пункте, длина проекции зависит от расположения отрезка. Два равных отрезка, по-разному ориентированные в пространстве, могут иметь проекции разной длины.

Например, снова рассмотрим ортогональное проецирование на плоскость $\pi$.

Пусть отрезок $AB$ имеет длину 2 и параллелен плоскости $\pi$. Длина его проекции $A'B'$ будет равна 2.

Пусть другой отрезок $CD$, также имеющий длину 2, образует с плоскостью $\pi$ угол $60^\circ$. Длина его проекции $C'D'$ будет равна $2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Таким образом, отрезки $AB$ и $CD$ равны, но их проекции $A'B'$ (длина 2) и $C'D'$ (длина 1) не равны.

Ответ: Да, могут.

3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка?

Да, может. Это возможно в случае косоугольного (не ортогонального) проецирования.

Если направление проецирования не перпендикулярно плоскости проекции, то проекция отрезка может быть длиннее самого отрезка. Интуитивно это можно представить так: если лучи проекции "скользят" вдоль отрезка под очень острым углом, то их точки пересечения с плоскостью проекции окажутся на большом расстоянии друг от друга.

Рассмотрим пример в координатах. Пусть плоскость проекции — это плоскость $z=0$. Проецируемый отрезок $AB$ соединяет точки $A(0,0,1)$ и $B(0,0,2)$. Его длина равна 1. Направление проецирования задано вектором $\vec{v} = (3,0,1)$.

Проекция точки $A$ — это точка $A'$, в которой прямая, проходящая через $A$ параллельно $\vec{v}$, пересекает плоскость $z=0$. Уравнение этой прямой: $(0+3t, 0+0, 1+t)$. Пересечение с $z=0$ происходит при $1+t=0$, то есть $t=-1$. Координаты $A'$ будут $(-3,0,0)$.

Аналогично для точки $B$: прямая $(0+3t, 0+0, 2+t)$ пересекает $z=0$ при $2+t=0$, то есть $t=-2$. Координаты $B'$ будут $(-6,0,0)$.

Длина проекции $A'B'$ равна расстоянию между точками $A'(-3,0,0)$ и $B'(-6,0,0)$, что составляет $|-6 - (-3)| = 3$. Это больше, чем длина исходного отрезка, равная 1.

Ответ: Да, может.

4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?

Да, может. Параллельная проекция прямой может быть параллельна самой прямой. Это происходит в том случае, когда исходная прямая параллельна плоскости проекции (и при этом не параллельна направлению проецирования).

Представим себе плоскость проекции $\pi$ (например, пол) и прямую $l$, которая ей параллельна (например, стержень, который держат параллельно полу). Если мы будем проецировать эту прямую на плоскость $\pi$ в направлении, не параллельном самому стержню, то ее проекция $l'$ (тень стержня на полу) будет прямой, параллельной исходной прямой $l$.

Математически: пусть прямая $l$ параллельна плоскости $\pi$. Возьмем две любые точки $A$ и $B$ на прямой $l$. Их проекции $A'$ и $B'$ лежат на плоскости $\pi$. Фигура $ABB'A'$ является трапецией (или параллелограммом), так как отрезки $AA'$ и $BB'$ параллельны по определению параллельного проецирования. Прямая $AB$ (то есть $l$) и прямая $A'B'$ (то есть $l'$) лежат в одной плоскости (плоскости трапеции $ABB'A'$). Так как прямая $l$ параллельна плоскости $\pi$, она не может ее пересекать. Значит, прямая $l$ должна быть параллельна линии пересечения своей плоскости с плоскостью $\pi$. Этой линией пересечения как раз и является проекция $l'$. Следовательно, $l \parallel l'$.

Ответ: Да, может.