Номер 7.12, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.12. На рисунке 7.26 изображён тетраэдр $DABC$, на ребре $AB$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного тетраэдра при симметрии относительно:

1) вершины $A$;

2) точки $M$.

Рис. 7.26

1) вершины A;
Центральная симметрия относительно точки (центра) $A$ — это преобразование пространства, при котором любая точка $X$ переходит в такую точку $X'$, что точка $A$ является серединой отрезка $XX'$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно вершины $A$, необходимо найти образы всех его вершин ($A, B, C, D$).

• Построение образа вершины A: Так как точка $A$ является центром симметрии, она отображается сама на себя. Обозначим ее образ как $A'$. Таким образом, $A' = A$.
• Построение образа вершины B: Образ вершины $B$, точка $B'$, должен быть таким, чтобы $A$ была серединой отрезка $BB'$. Для этого нужно провести прямую через точки $B$ и $A$ и отложить на ней от точки $A$ в сторону, противоположную точке $B$, отрезок $AB'$, равный по длине отрезку $AB$. Векторно это условие записывается как $\vec{AB'} = -\vec{AB}$.
• Построение образа вершины C: Аналогично, точка $C'$ (образ вершины $C$) находится на прямой $AC$ так, что $A$ является серединой отрезка $CC'$, то есть $AC' = AC$. Векторное равенство: $\vec{AC'} = -\vec{AC}$.
• Построение образа вершины D: Образ вершины $D$, точка $D'$, находится на прямой $AD$ так, что $A$ является серединой отрезка $DD'$, то есть $AD' = AD$. Векторное равенство: $\vec{AD'} = -\vec{AD}$.

Соединив полученные точки $A', B', C', D'$, мы получим искомый тетраэдр $A'B'C'D'$. Поскольку $A' = A$, то образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $AB'C'D'$.
Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно вершины $A$ является тетраэдр $AB'C'D'$, где $A$ — общая вершина, а вершины $B', C', D'$ симметричны соответственно вершинам $B, C, D$ относительно точки $A$.

2) точки M.
Для построения образа тетраэдра при симметрии относительно точки $M$ необходимо найти образы всех его вершин ($A, B, C, D$) относительно центра симметрии $M$.

• Построение образа вершины A: Образ вершины $A$, точка $A'$, находится на прямой $AM$ так, что точка $M$ является серединой отрезка $AA'$. Для этого на продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MA'$, равный $MA$. Векторно: $\vec{MA'} = -\vec{MA}$.
• Построение образа вершины B: Образ вершины $B$, точка $B'$, находится на прямой $BM$ так, что точка $M$ является серединой отрезка $BB'$. На продолжении отрезка $BM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MB'$, равный $MB$. Векторно: $\vec{MB'} = -\vec{MB}$. Поскольку точка $M$ лежит на ребре $AB$, точки $A'$ и $B'$ также будут лежать на прямой $AB$.
• Построение образа вершины C: Образ вершины $C$, точка $C'$, находится на прямой $CM$ так, что точка $M$ является серединой отрезка $CC'$. На продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MC'$, равный $MC$. Векторно: $\vec{MC'} = -\vec{MC}$.
• Построение образа вершины D: Образ вершины $D$, точка $D'$, находится на прямой $DM$ так, что точка $M$ является серединой отрезка $DD'$. На продолжении отрезка $DM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MD'$, равный $MD$. Векторно: $\vec{MD'} = -\vec{MD}$.

Соединив полученные точки $A', B', C', D'$, мы получим искомый тетраэдр $D'A'B'C'$, который является образом тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно точки $M$.
Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно точки $M$ является тетраэдр $D'A'B'C'$, вершины которого $A', B', C', D'$ симметричны соответственно вершинам $A, B, C, D$ относительно точки $M$.