Номер 7.18, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.18. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Параллельной проекцией прямых $a$ и $b$ как на плоскость $\alpha$, так и на плоскость $\beta$ являются параллельные прямые. Верно ли, что прямые $a$ и $b$ параллельны?

Данное утверждение неверно. Прямые a и b не обязательно должны быть параллельны, даже если их параллельные проекции на две пересекающиеся плоскости параллельны.

Рассмотрим, что означает условие задачи. Пусть параллельное проектирование происходит в некотором направлении, заданном вектором $\vec{s}$. Проекцией прямой l на плоскость проекции $\pi$ является линия пересечения этой плоскости $\pi$ с так называемой "проектирующей плоскостью" $\Pi_l$. Проектирующая плоскость $\Pi_l$ — это плоскость, которая содержит прямую l и параллельна направлению проектирования $\vec{s}$.

По условию, проекции прямых a и b на плоскость $\alpha$ параллельны. Обозначим их $a_\alpha$ и $b_\alpha$. Мы имеем $a_\alpha = \Pi_a \cap \alpha$ и $b_\alpha = \Pi_b \cap \alpha$. Условие $a_\alpha \parallel b_\alpha$ означает, что линии пересечения проектирующих плоскостей $\Pi_a$ и $\Pi_b$ с плоскостью $\alpha$ параллельны. Это возможно в общем случае только тогда, когда сами проектирующие плоскости $\Pi_a$ и $\Pi_b$ параллельны друг другу ($\Pi_a \parallel \Pi_b$).

Аналогичное рассуждение для проекций на плоскость $\beta$ приводит к тому же выводу: плоскости $\Pi_a$ и $\Pi_b$ должны быть параллельны.

Таким образом, условие задачи сводится к тому, что прямая a лежит в плоскости $\Pi_a$, а прямая b — в плоскости $\Pi_b$, причем эти две плоскости параллельны. Однако две прямые, лежащие в разных параллельных плоскостях, не обязаны быть параллельными. Они могут быть, например, скрещивающимися. Для доказательства неверности утверждения достаточно привести контрпример.

Контрпример:

1. Возьмём две различные параллельные плоскости. В декартовой системе координат это могут быть плоскости $\Pi_1$, заданная уравнением $z=1$, и $\Pi_2$, заданная уравнением $z=0$.
2. В плоскости $\Pi_1$ выберем прямую a. Например, прямую, заданную уравнениями $y=0, z=1$.
3. В плоскости $\Pi_2$ выберем прямую b. Например, прямую, заданную уравнениями $x=0, z=0$.
4. Прямые a (параллельна оси Ox) и b (ось Oy) являются скрещивающимися и, следовательно, не параллельны.
5. Выберем направление проектирования $\vec{s}$, параллельное обеим плоскостям $\Pi_1$ и $\Pi_2$, но не параллельное ни прямой a, ни прямой b. Например, пусть вектор направления проектирования будет $\vec{s} = \{1, 1, 0\}$.
6. В этом случае проектирующей плоскостью для прямой a будет сама плоскость $\Pi_1$, а для прямой b — плоскость $\Pi_2$.
7. Теперь возьмём любые две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые не параллельны направлению проектирования $\vec{s}$. Например, пусть $\alpha$ — это плоскость $x=0$, а $\beta$ — это плоскость $y=0$.
8. Найдём проекции на плоскость $\alpha$:
   • Проекция прямой a на $\alpha$ — это линия пересечения $z=1$ и $x=0$.
   • Проекция прямой b на $\alpha$ — это линия пересечения $z=0$ и $x=0$.
   Обе проекции являются прямыми, параллельными оси Oy, то есть они параллельны друг другу.
9. Найдём проекции на плоскость $\beta$:
   • Проекция прямой a на $\beta$ — это линия пересечения $z=1$ и $y=0$.
   • Проекция прямой b на $\beta$ — это линия пересечения $z=0$ и $y=0$.
   Обе проекции являются прямыми, параллельными оси Ox, то есть они параллельны друг другу.

Таким образом, мы построили пример, в котором все условия задачи выполнены, но исходные прямые a и b не параллельны, а скрещиваются.

Ответ: Нет, не верно.