Номер 7.19, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.19. Известно, что любой параллельной проекцией скрещивающихся прямых $a$ и $b$ на данную плоскость $\alpha$ являются пересекающиеся прямые. Определите взаимное расположение прямых $a$ и $b$ и плоскости $\alpha$.

Пусть $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые, а $\alpha$ — плоскость проекции. Обозначим проекции прямых $a$ и $b$ на плоскость $\alpha$ как $a'$ и $b'$ соответственно. По условию, для любого направления параллельного проецирования прямые $a'$ и $b'$ пересекаются.

Рассмотрим, в каком случае проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны.

Так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются, существует единственная плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $a$ и параллельна прямой $b$ ($a \subset \beta$, $b \parallel \beta$). Аналогично, существует единственная плоскость $\gamma$, которая проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$ ($b \subset \gamma$, $a \parallel \gamma$). Плоскости $\beta$ и $\gamma$ параллельны друг другу.

Пусть направление проецирования задается прямой $l$. Проекции $a'$ и $b'$ будут параллельны, если проецирующая плоскость для прямой $a$ (плоскость, проходящая через $a$ параллельно $l$) параллельна проецирующей плоскости для прямой $b$ (плоскость, проходящая через $b$ параллельно $l$).

Это произойдет, если направление проецирования $l$ будет параллельно плоскости $\beta$ (и, следовательно, плоскости $\gamma$). Если мы выберем направление проецирования $l$ параллельно плоскости $\beta$, но не параллельно прямым $a$ и $b$, то проекции $a'$ и $b'$ на плоскость $\alpha$ окажутся параллельными прямыми.

Однако, по условию задачи, проекции $a'$ и $b'$ пересекаются при любом выборе направления проецирования. Это означает, что не существует такого направления проецирования $l$, которое было бы параллельно плоскости $\beta$.

Единственное ограничение на направление проецирования $l$ заключается в том, что оно не может быть параллельно плоскости проекции $\alpha$ (иначе проецирующие лучи не пересекут плоскость $\alpha$ или будут лежать в ней).

Таким образом, множество направлений, параллельных плоскости $\beta$, должно совпадать с множеством "запрещенных" направлений проецирования, то есть с множеством направлений, параллельных плоскости $\alpha$. Это возможно только в том случае, если плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$.

Итак, мы пришли к выводу, что $\beta \parallel \alpha$.

Теперь определим взаимное расположение прямых $a$ и $b$ и плоскости $\alpha$:

1. По построению плоскости $\beta$, прямая $a$ лежит в этой плоскости ($a \subset \beta$). Так как $\beta \parallel \alpha$, то прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
2. По построению плоскости $\beta$, прямая $b$ параллельна этой плоскости ($b \parallel \beta$). Так как $\beta \parallel \alpha$, то прямая $b$ также параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).

Следовательно, обе скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\alpha$.

Ответ: Обе прямые, $a$ и $b$, параллельны плоскости $\alpha$.