Номер 8.1, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.1. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением прямоугольника $ABCD$ (рис. 8.23). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону $BC$.

Рис. 8.23

Поскольку параллельная проекция сохраняет свойство точки быть серединой отрезка и свойство прямых пересекаться в одной точке, мы можем использовать эти свойства для построения искомого изображения.

Пусть в исходном прямоугольнике $ABCD$ точка $O$ является точкой пересечения диагоналей, а $OM$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $BC$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольник $BOC$ является равнобедренным ($OB = OC$). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ (основание перпендикуляра) является серединой стороны $BC$.

Изображением прямоугольника $ABCD$ является параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$. Изображением перпендикуляра $OM$ будет отрезок $O_1M_1$, где $O_1$ — изображение точки $O$, а $M_1$ — изображение точки $M$.

Таким образом, задача сводится к построению изображений точки $O$ и точки $M$.

Построение:

1. Найдем изображение точки пересечения диагоналей $O_1$. Для этого в параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ проведем диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$. Точка их пересечения $O_1$ и будет изображением центра прямоугольника $O$, так как параллельная проекция сохраняет пересечение прямых.
2. Найдем изображение точки $M_1$. Так как $M$ — середина стороны $BC$, то ее изображение $M_1$ будет серединой отрезка $B_1C_1$ (по свойству параллельной проекции, которое сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой). Найдем середину отрезка $B_1C_1$ и обозначим ее $M_1$.
3. Соединим точки $O_1$ и $M_1$. Отрезок $O_1M_1$ является искомым изображением перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону $BC$.

Ответ: Искомым изображением является отрезок $O_1M_1$, где $O_1$ - точка пересечения диагоналей параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, а $M_1$ - середина стороны $B_1C_1$.