Номер 7.22, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.22. Основанием призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является трапеция $ABCD$, в которой основание $BC$ в три раза меньше основания $AD$. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Плоскость $ABM$ пересекает прямую $DD_1$ в точке $N$. Найдите отношение $D_1N : ND$.

Рассмотрим плоскость основания призмы $(ABC)$. Поскольку основанием является трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$.

Так как $BC \parallel AD$, треугольники $\triangle PBC$ и $\triangle PAD$ подобны по двум углам (угол при вершине $P$ общий, а углы $\angle PCB$ и $\angle PDA$ равны как соответственные при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $PD$).

Из подобия треугольников следует отношение сторон: $ \frac{PC}{PD} = \frac{BC}{AD} $

По условию, основание $BC$ в три раза меньше основания $AD$, то есть $AD = 3 \cdot BC$. Подставим это в отношение: $ \frac{PC}{PD} = \frac{BC}{3 \cdot BC} = \frac{1}{3} $

Теперь рассмотрим плоскость сечения $(ABM)$. Точка $N$ является точкой пересечения этой плоскости с прямой $DD_1$.

Точки $A$, $B$ и $M$ задают плоскость $(ABM)$. Точка $P$ лежит на прямой $AB$, следовательно, точка $P$ также принадлежит плоскости $(ABM)$. Точка $M$ принадлежит ребру $CC_1$. Плоскость $(ABM)$ пересекает параллельные плоскости боковых граней $(BCC_1B_1)$ и $(ADD_1A_1)$ по параллельным прямым. Однако удобнее рассмотреть пересечение плоскости $(ABM)$ с плоскостью грани $(CDD_1C_1)$.

Линия пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(CDD_1C_1)$ проходит через все общие точки этих плоскостей. Точка $M$ лежит в обеих плоскостях. Точка $P$ также лежит в обеих плоскостях, так как $P \in CD$. Следовательно, плоскости $(ABM)$ и $(CDD_1C_1)$ пересекаются по прямой $PM$.

Точка $N$ лежит на прямой $DD_1$ и в плоскости $(ABM)$. Так как прямая $DD_1$ лежит в плоскости $(CDD_1C_1)$, точка $N$ является точкой пересечения прямой $PM$ и прямой $DD_1$. Таким образом, точки $P$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим теперь плоскость $(CDD_1C_1)$. В этой плоскости лежат прямые $CC_1$, $DD_1$ и $PMN$. Так как призма прямая или наклонная (в условии не уточнено, но это не влияет на решение), боковые ребра параллельны: $CC_1 \parallel DD_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle PCM$ и $\triangle PDN$. Они подобны, так как $\angle P$ у них общий, а $\angle PCM$ и $\angle PDN$ можно рассматривать как углы, образованные секущей $PD$ и параллельными прямыми $CC_1$ и $DD_1$. Более строго: так как $CC_1 \parallel DD_1$, то по обобщенной теореме Фалеса (или по подобию треугольников) имеем: $ \frac{DN}{CM} = \frac{PD}{PC} $

Ранее мы нашли, что $\frac{PC}{PD} = \frac{1}{3}$, следовательно, $\frac{PD}{PC} = 3$. Тогда: $ \frac{DN}{CM} = 3 \implies DN = 3 \cdot CM $

По условию, точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Обозначим высоту призмы (длину бокового ребра) за $h$, то есть $CC_1 = DD_1 = h$. Тогда $CM = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{h}{2}$.

Подставим значение $CM$ в полученное равенство для $DN$: $ DN = 3 \cdot \frac{h}{2} = \frac{3}{2}h $

Нам нужно найти отношение $D_1N : ND$. Длина отрезка $ND$ равна $DN = \frac{3}{2}h$. Длина отрезка $D_1N$ равна разности длин $DN$ и $DD_1$: $ D_1N = DN - DD_1 = \frac{3}{2}h - h = \frac{1}{2}h $

Теперь найдем искомое отношение: $ D_1N : ND = \frac{\frac{1}{2}h}{\frac{3}{2}h} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3} $

Ответ: $1:3$.