Номер 7.15, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.15. Докажите, что если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельной проекцией является отрезок, равный данному.

Дано:
Отрезок $AB$.
Плоскость проектирования $\alpha$.
Направление проектирования задано прямой $l$ ($l$ не параллельна $\alpha$).
Отрезок $AB$ параллелен плоскости $\alpha$ (т.е. прямая, содержащая отрезок $AB$, параллельна плоскости $\alpha$).

Доказать:
Параллельной проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $A_1B_1$, равный отрезку $AB$ ($|A_1B_1| = |AB|$).

Доказательство:

1. Пусть точки $A_1$ и $B_1$ являются параллельными проекциями концов отрезка $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. По определению параллельного проектирования, прямые, проходящие через исходные точки и их проекции, параллельны направлению проектирования. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1$.

2. Две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ определяют единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Таким образом, точки $A, B, B_1, A_1$ лежат в одной плоскости $\beta$. Эти точки образуют четырехугольник $ABB_1A_1$.

3. По условию задачи, отрезок $AB$ параллелен плоскости проектирования $\alpha$. Это значит, что прямая $AB$, содержащаяся в плоскости $\beta$, параллельна плоскости $\alpha$.

4. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой, проходящей через точки $A_1$ и $B_1$. По теореме о параллельности прямой и плоскости, если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (прямая $A_1B_1$) параллельна данной прямой ($AB$). Отсюда следует, что $AB \parallel A_1B_1$.

5. Теперь рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. Мы доказали, что его противоположные стороны попарно параллельны:

• $AA_1 \parallel BB_1$ (по определению параллельного проектирования).
• $AB \parallel A_1B_1$ (как было доказано в предыдущем шаге).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

6. Основным свойством параллелограмма является равенство длин его противоположных сторон. Следовательно, длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A_1B_1$: $|AB| = |A_1B_1|$.

7. При параллельном проектировании любая точка отрезка $AB$ отобразится в точку отрезка $A_1B_1$. Таким образом, проекцией отрезка $AB$ является отрезок $A_1B_1$.

Следовательно, мы доказали, что параллельной проекцией отрезка, параллельного плоскости проектирования, является отрезок, равный данному. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельная проекция — это отрезок, равный по длине исходному отрезку.