Номер 7.13, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.13. На рисунке 7.27 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте образ данного куба при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $A$ является точка $D$;

2) образом точки $B$ является точка $C_1$.

Рис. 7.27

1)

При параллельном переносе, в результате которого образом точки $A$ является точка $D$, вектор переноса равен $\vec{v} = \vec{AD}$. Чтобы построить образ всего куба, необходимо перенести каждую его вершину на этот вектор.

Найдем образы некоторых вершин исходного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

• Образом точки $A$ является точка $D$ (по условию).
• Образом точки $B$ является точка $B'$, такая что $\vec{BB'} = \vec{AD}$. Так как $ABCD$ — грань куба (квадрат), то $\vec{AD} = \vec{BC}$. Следовательно, $\vec{BB'} = \vec{BC}$, откуда следует, что точка $B'$ совпадает с точкой $C$.
• Образом точки $A_1$ является точка $A_1'$, такая что $\vec{A_1A_1'} = \vec{AD}$. Так как $ADD_1A_1$ — грань куба, то $\vec{AD} = \vec{A_1D_1}$. Следовательно, $\vec{A_1A_1'} = \vec{A_1D_1}$, откуда следует, что точка $A_1'$ совпадает с точкой $D_1$.
• Образом точки $B_1$ является точка $B_1'$, такая что $\vec{B_1B_1'} = \vec{AD}$. В кубе векторы ребер, не лежащих в одной плоскости, но параллельных друг другу, равны. Так, $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$. Следовательно, $\vec{B_1B_1'} = \vec{B_1C_1}$, откуда следует, что точка $B_1'$ совпадает с точкой $C_1$.

Таким образом, образом грани $ABB_1A_1$ является грань $DCC_1D_1$. Так как параллельный перенос является движением, он переводит куб в равный ему куб. Образ исходного куба — это куб, который имеет с исходным общую грань $DCC_1D_1$ и расположен по другую сторону от этой грани.

Ответ: Образом данного куба является куб, примыкающий к исходному по грани $DCC_1D_1$.

2)

При параллельном переносе, в результате которого образом точки $B$ является точка $C_1$, вектор переноса равен $\vec{v} = \vec{BC_1}$. Этот вектор является пространственной диагональю куба. Для построения образа куба найдем образы его вершин.

Вектор переноса можно разложить по ребрам: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.

Найдем образы некоторых вершин:

• Образом точки $B$ является точка $C_1$ (по условию).
• Найдем образ точки $A$ — точку $A'$. $A' = A + \vec{BC_1} = A + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = (A + \vec{BC}) + \vec{CC_1}$. Так как $ABCD$ — грань куба, то $A + \vec{BC} = A + \vec{AD} = D$. Тогда $A' = D + \vec{CC_1}$. Так как $CDD_1C_1$ — грань куба, то $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Следовательно, $A' = D + \vec{DD_1} = D_1$. Таким образом, образом точки $A$ является точка $D_1$.

Из этого следует, что образом ребра $AB$ является ребро $D_1C_1$.

Образом куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ будет равный ему куб, назовем его $K'$. Ребро $D_1C_1$ исходного куба является ребром и для куба $K'$ (как образ ребра $AB$).

Найдем образы остальных вершин, чтобы определить положение куба $K'$.

• Образ точки $D$, точка $D' = D + \vec{BC_1}$.
• Образ точки $C$, точка $C' = C + \vec{BC_1}$.

Образом грани $ABCD$ является грань $A'B'C'D'$, то есть $D_1C_1C'D'$. Эта грань является одной из граней искомого куба $K'$. Чтобы ее построить, нужно от вершин $D_1$ и $C_1$ отложить векторы, равные $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ соответственно. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, то $\vec{D_1D'} = \vec{AD}$ и $\vec{C_1C'} = \vec{BC}$.

Искомый куб $K'$ строится на грани $D_1C_1C'D'$ и не имеет с исходным кубом других общих точек, кроме вершин $D_1$, $C_1$ и ребра $D_1C_1$.

Ответ: Образом данного куба является равный ему куб, который имеет с исходным кубом только одно общее ребро — ребро $D_1C_1$.