Номер 7.17, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.17. Плоскость $\alpha$ параллельна каждой из скрещивающихся прямых $a$ и $b$ и пересекает плоскость $\beta$. Какая фигура является параллельной проекцией прямых $a$ и $b$ на плоскость $\beta$ в направлении прямой, параллельной плоскости $\alpha$?

Пусть $l$ — прямая, задающая направление параллельного проецирования на плоскость $\beta$. По условию задачи, эта прямая параллельна плоскости $\alpha$, то есть $l \parallel \alpha$. Также нам дано, что скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\alpha$: $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$.

Параллельной проекцией прямой $a$ на плоскость $\beta$ (обозначим ее $a'$) является линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $\gamma_a$, которая проходит через прямую $a$ и параллельна прямой $l$. Поскольку $a \parallel \alpha$ и $l \parallel \alpha$, то плоскость $\gamma_a$, которая определяется этими двумя направлениями, будет параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, $\gamma_a \parallel \alpha$.

Аналогично, проекцией прямой $b$ на плоскость $\beta$ (обозначим ее $b'$) является линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $\gamma_b$, которая проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $l$. Так как $b \parallel \alpha$ и $l \parallel \alpha$, то и плоскость $\gamma_b$ будет параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, $\gamma_b \parallel \alpha$.

Из того, что $\gamma_a \parallel \alpha$ и $\gamma_b \parallel \alpha$, следует, что плоскости $\gamma_a$ и $\gamma_b$ параллельны друг другу: $\gamma_a \parallel \gamma_b$. Поскольку исходные прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися, они не лежат в одной плоскости, а значит, содержащие их плоскости $\gamma_a$ и $\gamma_b$ не совпадают.

Мы получили, что две различные параллельные плоскости ($\gamma_a$ и $\gamma_b$) пересекаются третьей плоскостью ($\beta$). По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны. Линиями пересечения являются как раз проекции $a' = \gamma_a \cap \beta$ и $b' = \gamma_b \cap \beta$. Следовательно, $a' \parallel b'$.

Таким образом, в общем случае, искомая фигура — это две параллельные прямые.

Рассмотрим вырожденный случай. Проекцией прямой является точка только тогда, когда сама прямая параллельна направлению проецирования. Если, например, $a \parallel l$, то проекцией прямой $a$ будет точка. Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не могут быть параллельны, а значит, они не могут быть одновременно параллельны прямой $l$. Поэтому, если проекция одной прямой — точка, то проекция другой — обязательно прямая. В этом случае фигура будет состоять из точки и прямой. Причем точка не будет лежать на прямой, так как они получены пересечением плоскости $\beta$ с двумя разными параллельными плоскостями $\gamma_a$ и $\gamma_b$.

Ответ: Две параллельные прямые. В вырожденном случае, если одна из скрещивающихся прямых параллельна направлению проецирования, фигурой является точка и не содержащая ее прямая.