Номер 7.23, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.23. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ равны соответственно 10 см и 35 см. Сумма углов $A$ и $D$ равна $90^\circ$, а высота трапеции равна 12 см. Найдите боковые стороны трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. По условию, $BC = 10$ см, $AD = 35$ см, высота $h = 12$ см, и сумма углов при большем основании $\angle A + \angle D = 90^\circ$.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

Полученный четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AE$ как части оснований трапеции, $AB \parallel CE$ по построению). Следовательно, $AE = BC = 10$ см и $CE = AB$.

Рассмотрим треугольник $CED$. Его стороны:
$CE = AB$ (одна из искомых боковых сторон).
$CD$ (вторая искомая боковая сторона).
$ED = AD - AE = 35 - 10 = 25$ см.

Найдем углы треугольника $CED$.
Так как $CE \parallel AB$ и $AD$ – секущая, то $\angle CED = \angle A$ как соответственные углы.
Угол $\angle CDE$ – это угол $\angle D$ трапеции.
Сумма углов в треугольнике $CED$ равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle ECD$:
$\angle ECD = 180^\circ - (\angle CED + \angle CDE) = 180^\circ - (\angle A + \angle D)$.
По условию $\angle A + \angle D = 90^\circ$, значит $\angle ECD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник $CED$ является прямоугольным с гипотенузой $ED = 25$ см.

Проведем в этом прямоугольном треугольнике высоту $CK$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $ED$. Эта высота $CK$ также является высотой трапеции, поэтому $CK = h = 12$ см.

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит ее на два отрезка ($EK$ и $KD$). Длины этих отрезков можно найти, используя метрические соотношения. Пусть $EK = x$, тогда $KD = ED - EK = 25 - x$.
Квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $CK^2 = EK \cdot KD$.
$12^2 = x \cdot (25 - x)$
$144 = 25x - x^2$
$x^2 - 25x + 144 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Отрезки $EK$ и $KD$ равны 9 см и 16 см. Пусть $EK = 9$ см, а $KD = 16$ см.

Теперь найдем катеты треугольника $CED$, которые являются боковыми сторонами трапеции.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKE$. По теореме Пифагора:
$CE^2 = CK^2 + EK^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$
$CE = \sqrt{225} = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$. По теореме Пифагора:
$CD^2 = CK^2 + KD^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$CD = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как $AB = CE$, то $AB = 15$ см.
Следовательно, боковые стороны трапеции равны 15 см и 20 см.

Ответ: 15 см и 20 см.